Kalkulus Contoh

$(x y^{2} + y - x) d x + x (x y + 1) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x y^{2} + y - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + y - x]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y^{2} + y - x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y^{2}$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Langkah 1.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Langkah 1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Langkah 1.4.2

Karena $- x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1 + 0$

Langkah 1.4.3

Tambahkan $2 x y + 1$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x (x y + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x y + 1)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x y + 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x y + 1] + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y + 0) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.6

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y + (x y + 1) \cdot 1$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Kalikan $x y + 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y + x y + 1$

Langkah 2.3.8.2

Tambahkan $x y$ dan $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 1$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 x y + 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x y + 1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y + 1 = 2 x y + 1$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$2 x y + 1 = 2 x y + 1$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (x y + 1) d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = x (x y + 1)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x \int x y + 1 d y$

Langkah 5.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = x (\int x y d y + \int d y)$

Langkah 5.3

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x (x \int y d y + \int d y)$

Langkah 5.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x (x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int d y)$

Langkah 5.5

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x (x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + y + C)$

Langkah 5.6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = x (x (\frac{y^{2}}{2} + C) + y + C)$

Langkah 5.7

Sederhanakan.

$f (x, y) = x (\frac{x y^{2}}{2} + y) + C$

Langkah 5.8

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{2} + y - x$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + g (x)] = x y^{2} + y - x$

Langkah 8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x}{2} y^{2} + y) + g (x)] = x y^{2} + y - x$

Langkah 8.2.1.2

Gabungkan $\frac{x}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y) + g (x)] = x y^{2} + y - x$

Langkah 8.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x (\frac{x y^{2}}{2} + y) + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

$x \frac{d}{d x} [\frac{x y^{2}}{2} + y] + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Langkah 8.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x y^{2}}{2} + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (\frac{d}{d x} [\frac{x y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [y]) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Langkah 8.3.3

Karena $\frac{y^{2}}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x y^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Langkah 8.3.5

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \cdot 1 + 0) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Langkah 8.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \cdot 1 + 0) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Langkah 8.3.7

Kalikan $\frac{y^{2}}{2}$ dengan $1$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} + 0) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Langkah 8.3.8

Tambahkan $\frac{y^{2}}{2}$ dan $0$ .

$x \frac{y^{2}}{2} + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Langkah 8.3.9

Gabungkan $x$ dan $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{x y^{2}}{2} + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Langkah 8.3.10

Kalikan $\frac{x y^{2}}{2} + y$ dengan $1$ .

$\frac{x y^{2}}{2} + \frac{x y^{2}}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Langkah 8.3.11

Tambahkan $\frac{x y^{2}}{2}$ dan $\frac{x y^{2}}{2}$ .

$2 \frac{x y^{2}}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Langkah 8.3.12

Gabungkan $2$ dan $\frac{x y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 (x y^{2})}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Langkah 8.3.13

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.13.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x y^{2}}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Langkah 8.3.13.2

Bagilah $x y^{2}$ dengan $1$ .

$x y^{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$x y^{2} + y + \frac{d g}{d x} = x y^{2} + y - x$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x + y = x y^{2} + y - x$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $y^{2} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + y = x y^{2} + y - x - y^{2} x$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} + y - x - y^{2} x - y$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $x y^{2} + y - x - y^{2} x - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $x y^{2}$ dan $- y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} x + y - x - y^{2} x - y$

Langkah 9.1.3.2

Kurangi $y^{2} x$ dengan $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y - x + 0 - y$

Langkah 9.1.3.3

Tambahkan $y - x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y - x - y$

Langkah 9.1.3.4

Kurangi $y$ dengan $y$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 0$

Langkah 9.1.3.5

Tambahkan $- x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x$

Langkah 10

Temukan $- x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = - x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x d x$

Langkah 10.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (x) = - \int x d x$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 10.5

Tulis kembali $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$f (x, y) = x (\frac{x}{2} y^{2} + y) - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12.1.2

Gabungkan $\frac{x}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = x (\frac{x y^{2}}{2} + y) - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12.2

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = x \frac{x y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12.3

Kalikan $x \frac{x y^{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{x y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x (x y^{2})}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12.3.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12.3.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x^{1} y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (x, y) = \frac{x^{1 + 1} y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12.4

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + x y - \frac{x^{2}}{2} + C$