Kalkulus Contoh

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} - 2 x y - 2 x = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} - 2 x y - 2 x = 0$

Langkah 1.1.1.2

Kalikan $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} - 2 x y - 2 x = 0$

Langkah 1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d y}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Tambahkan $2 x y$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} - 2 x = 2 x y$

Langkah 1.1.2.2

Tambahkan $2 x$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = 2 x y + 2 x$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $\frac{d y}{d x}$ dari $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Faktorkan $\frac{d y}{d x}$ dari $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = 2 x y + 2 x$

Langkah 1.1.3.2

Naikkan $\frac{d y}{d x}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = 2 x y + 2 x$

Langkah 1.1.3.3

Faktorkan $\frac{d y}{d x}$ dari ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = 2 x y + 2 x$

Langkah 1.1.3.4

Faktorkan $\frac{d y}{d x}$ dari $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = 2 x y + 2 x$

Langkah 1.1.4

Bagi setiap suku pada $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = 2 x y + 2 x$ dengan $x^{2} + 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Bagilah setiap suku di $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = 2 x y + 2 x$ dengan $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.4.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + 2 x}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.4.3.2

Faktorkan $2 x$ dari $2 x y + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.2.1

Faktorkan $2 x$ dari $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (y) + 2 x}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.4.3.2.2

Faktorkan $2 x$ dari $2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (y) + 2 x (1)}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.4.3.2.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (y) + 2 x (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (y + 1)}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1)$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1))$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $y + 1$ dari $\frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{2 x}{x^{2} + 1})$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{2 x}{x^{2} + 1})$

Langkah 1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u_{1} = y + 1$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u_{1} = y + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u_{2} = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u_{2} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u_{2} = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 2.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.2.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 2.3.2.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.5.3

Kalikan $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ dengan $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.6

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 2.3.7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Langkah 3.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}) = C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |})} = e^{C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} = e^{C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} = e^{C}$

Langkah 3.5.2

Kalikan kedua ruas dengan $| x^{2} + 1 |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} | x^{2} + 1 | = e^{C} | x^{2} + 1 |$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| x^{2} + 1 |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} | x^{2} + 1 | = e^{C} | x^{2} + 1 |$

Langkah 3.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y + 1 | = e^{C} | x^{2} + 1 |$

Langkah 3.5.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{C} | x^{2} + 1 |$ .

$| y + 1 | = | x^{2} + 1 | e^{C}$

Langkah 3.5.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | x^{2} + 1 | e^{C}$

Langkah 3.5.4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm | x^{2} + 1 | e^{C}$ .

$y + 1 = \pm e^{C} | x^{2} + 1 |$

Langkah 3.5.4.4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \pm e^{C} | x^{2} + 1 | - 1$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm C | x^{2} + 1 | - 1$

Langkah 4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C | x^{2} + 1 | - 1$