Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} + (3 x + 1) y = e^{- 3 x}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} + (3 x + 1) y = e^{- 3 x}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Langkah 1.3

Faktorkan $y$ dari $\frac{(3 x + 1) y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3 x + 1}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Langkah 1.4

Susun kembali $y$ dan $\frac{3 x + 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x + 1}{x} y = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{3 x + 1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{3 x + 1}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{3 x + 1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$e^{\int \frac{3 x}{x} + \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$e^{\int \frac{3 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\int \frac{3 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.3.2

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$e^{\int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.4

Terapkan aturan konstanta.

$e^{3 x + C + \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{3 x + C + \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$e^{3 x + \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{3 x + \ln (x)}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{3 x + \ln (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{3 x + \ln (x)}$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{3 x + \ln (x)} (\frac{3 x + 1}{x} y) = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{3 x + 1}{x}$ dan $y$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{3 x + \ln (x)} \frac{(3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Langkah 3.2.2

Gabungkan $e^{3 x + \ln (x)}$ dan $\frac{(3 x + 1) y}{x}$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Langkah 3.3

Untuk menuliskan $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Langkah 3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Langkah 3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $e^{3 x + \ln (x)}$ dari $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Faktorkan $e^{3 x + \ln (x)}$ dari $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Langkah 3.5.1.2

Faktorkan $e^{3 x + \ln (x)}$ dari $e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} ((3 x + 1) y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Langkah 3.5.1.3

Faktorkan $e^{3 x + \ln (x)}$ dari $e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} ((3 x + 1) y)$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + (3 x + 1) y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Langkah 3.5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + 1 y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Langkah 3.5.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Langkah 3.6

Kalikan $e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Gabungkan $e^{3 x + \ln (x)}$ dan $\frac{e^{- 3 x}}{x}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{3 x + \ln (x)} e^{- 3 x}}{x}$

Langkah 3.6.2

Kalikan $e^{3 x + \ln (x)}$ dengan $e^{- 3 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{3 x + \ln (x) - 3 x}}{x}$

Langkah 3.6.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 x + \ln (x) - 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.2.1

Kurangi $3 x$ dengan $3 x$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{0 + \ln (x)}}{x}$

Langkah 3.6.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $\ln (x)$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{\ln (x)}}{x}$

Langkah 3.7

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{x}{x}$

Langkah 3.8

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{x}{x}$

Langkah 3.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = 1$

Langkah 3.9

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = 1$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (x \frac{d y}{d x} + 3 x y + y)}{x} = 1$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x + \ln (x)} y] = 1$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x + \ln (x)} y] d x = \int d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{3 x + \ln (x)} y = \int d x$

Langkah 7

Terapkan aturan konstanta.

$e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$ dengan $e^{3 x + \ln (x)}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$ dengan $e^{3 x + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} y}{e^{3 x + \ln (x)}} = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{3 x + \ln (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} y}{e^{3 x + \ln (x)}} = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$