Kalkulus Contoh

$\int \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} d x$

Langkah 1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x$

Langkah 2

Tulis kembali $x^{3}$ sebagai ${(x^{3})}^{1}$ .

$3 \int \frac{x^{2}}{1 + {(x^{3})}^{1}} d x$

Langkah 3

Biarkan $u_{1} = x^{3}$ . Kemudian $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u_{1} = x^{3}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Langkah 3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{1 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan.

$3 \int \frac{1}{1 + u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Langkah 4.2

Kalikan $\frac{1}{1 + u_{1}}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{1}{(1 + u_{1}) \cdot 3} d u_{1}$

Langkah 4.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $1 + u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{3 (1 + u_{1})} d u_{1}$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Langkah 6.3

Kalikan $\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$ dengan $1$ .

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Langkah 7

Biarkan $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Kemudian $d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Langkah 7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 7.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $1$ terhadap $u_{1}$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 7.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 7.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 8

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 9

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 + u_{1}$ .

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C$

Langkah 9.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{3}$ .

$\ln (| 1 + x^{3} |) + C$