Kalkulus Contoh

$f (x) = 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{6} + 4 x}{x^{2}}$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{6} + 4 x}{x^{2}} d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $x$ dari $- 3 x^{6} + 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x$ dari $- 3 x^{6}$ .

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5}) + 4 x}{x^{2}} d x$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $x$ dari $4 x$ .

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5}) + x \cdot 4}{x^{2}} d x$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $x$ dari $x (- 3 x^{5}) + x \cdot 4$ .

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5} + 4)}{x^{2}} d x$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5} + 4)}{x \cdot x} d x$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5} + 4)}{x \cdot x} d x$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 5 e^{6 x} d x + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Langkah 5

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$5 \int e^{6 x} d x + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Langkah 6

Biarkan $u = 6 x$ . Kemudian $d u = 6 d x$ sehingga $\frac{1}{6} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = 6 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Langkah 6.1.2

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Langkah 6.1.4

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$6$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{6} d u + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Langkah 7

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{6}$ .

$5 \int \frac{e^{u}}{6} d u + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$5 (\frac{1}{6} \int e^{u} d u) + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $5$ .

$\frac{5}{6} \int e^{u} d u + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Langkah 10

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Langkah 11

Bagilah $- 3 x^{5} + 4$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Langkah 11.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 3 x^{5}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Langkah 11.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

Langkah 11.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 3 x^{5} + 0$

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

Langkah 11.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

Langkah 11.6

Mengeluarkan suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

Langkah 11.7

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) + \int - 3 x^{4} + \frac{4}{x} d x$

Langkah 12

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) + \int - 3 x^{4} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Langkah 13

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 3$ keluar dari integral.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 \int x^{4} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Langkah 14

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int \frac{4}{x} d x$

Langkah 15

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{5}$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \int \frac{4}{x} d x$

Langkah 16

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 4 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 17

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 4 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 18

Sederhanakan.

$\frac{5 e^{u}}{6} - \frac{3 x^{5}}{5} + 4 \ln (| x |) + C$

Langkah 19

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $6 x$ .

$\frac{5 e^{6 x}}{6} - \frac{3 x^{5}}{5} + 4 \ln (| x |) + C$

Langkah 20

Susun kembali suku-suku.

$\frac{5}{6} e^{6 x} - \frac{3}{5} x^{5} + 4 \ln (| x |) + C$

Langkah 21

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{6} + 4 x}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{6} e^{6 x} - \frac{3}{5} x^{5} + 4 \ln (| x |) + C$