Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{5 x}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5 x}$ sebagai ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(5 x)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(5 x)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 x$ .

$\frac{d}{d y} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.2

Karena $5^{\frac{1}{2}}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $y$ adalah $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x$ .

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.9

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 4.10

Gabungkan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dan $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 4.11

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} x'$

Langkah 4.12

Gabungkan $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dan $x'$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$1 = \frac{5^{\frac{1}{2}} x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{5^{\frac{1}{2}} x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1$

Langkah 6.2

Kalikan kedua ruas dengan $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Sederhanakan $\frac{5^{\frac{1}{2}} x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{5^{\frac{1}{2}} x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{5^{\frac{1}{2}} x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x'}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x'}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$5^{\frac{1}{2}} x' = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.1.1.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $5^{\frac{1}{2}} x'$ .

$x' \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Kalikan $2 x^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$x' \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 2 x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.4

Bagi setiap suku pada $x' \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 2 x^{\frac{1}{2}}$ dengan $5^{\frac{1}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Bagilah setiap suku di $x' \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 2 x^{\frac{1}{2}}$ dengan $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x' \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x' \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.4.2.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}$