Kalkulus Contoh

$y = {(\frac{x}{1 + x})}^{5}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{5}$ dan $g (x) = \frac{x}{1 + x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{1 + x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{1 + x}$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = 1 + x$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{(1 + x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Langkah 3.2

Kalikan $1 + x$ dengan $1$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Langkah 3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Langkah 3.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Langkah 3.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Langkah 3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Langkah 3.7

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x}{{(1 + x)}^{2}}$

Langkah 3.7.2

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

Langkah 3.7.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

Langkah 3.7.4

Gabungkan $\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$ dan $5$ .

$\frac{5}{{(1 + x)}^{2}} {(\frac{x}{1 + x})}^{4}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x}{1 + x}$ .

$\frac{5}{{(1 + x)}^{2}} \cdot \frac{x^{4}}{{(1 + x)}^{4}}$

Langkah 4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $\frac{5}{{(1 + x)}^{2}}$ dengan $\frac{x^{4}}{{(1 + x)}^{4}}$ .

$\frac{5 x^{4}}{{(1 + x)}^{2} {(1 + x)}^{4}}$

Langkah 4.2.2

Kalikan ${(1 + x)}^{2}$ dengan ${(1 + x)}^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{5 x^{4}}{{(1 + x)}^{2 + 4}}$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $2$ dan $4$ .

$\frac{5 x^{4}}{{(1 + x)}^{6}}$

Langkah 4.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{6}}$