Kalkulus Contoh

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{6 k (k - 1)}{n^{3}}$

Langkah 1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $2$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Langkah 2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(6) (\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6})$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$6 \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Langkah 3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$n (n + 1) (2 n + 1)$

Langkah 3.1.2

Terapkan sifat distributif.

$(n \cdot n + n \cdot 1) (2 n + 1)$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Kalikan $n$ dengan $n$ .

$(n^{2} + n \cdot 1) (2 n + 1)$

Langkah 3.1.3.2

Kalikan $n$ dengan $1$ .

$(n^{2} + n) (2 n + 1)$

Langkah 3.2

Perluas $(n^{2} + n) (2 n + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$n^{2} (2 n + 1) + n (2 n + 1)$

Langkah 3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n + 1)$

Langkah 3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Langkah 3.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 n^{2} n + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Langkah 3.3.1.2

Kalikan $n^{2}$ dengan $n$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Pindahkan $n$ .

$2 (n \cdot n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Langkah 3.3.1.2.2

Kalikan $n$ dengan $n^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.2.1

Naikkan $n$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (n^{1} n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Langkah 3.3.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 n^{1 + 2} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Langkah 3.3.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$2 n^{3} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Langkah 3.3.1.3

Kalikan $n^{2}$ dengan $1$ .

$2 n^{3} + n^{2} + n (2 n) + n \cdot 1$

Langkah 3.3.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n \cdot n + n \cdot 1$

Langkah 3.3.1.5

Kalikan $n$ dengan $n$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.1

Pindahkan $n$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 (n \cdot n) + n \cdot 1$

Langkah 3.3.1.5.2

Kalikan $n$ dengan $n$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n \cdot 1$

Langkah 3.3.1.6

Kalikan $n$ dengan $1$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $n^{2}$ dan $2 n^{2}$ .

$2 n^{3} + 3 n^{2} + n$