Kalkulus Contoh

$y = (2 x + 5) \sqrt{4 x - 1}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{4 x - 1}$ sebagai ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = (2 x + 5) {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((2 x + 5) {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 2 x + 5$ dan $g (x) = {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 5) \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 4 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 x - 1$ .

$(2 x + 5) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x - 1$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 5) (\frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.7.3

Pindahkan ${(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.9

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.11

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.12

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.13

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.13.1

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4 + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.13.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$(2 x + 5) \frac{4}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.13.3

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$(2 x + 5) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.14

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.14.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 5) \frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(2 x + 5) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 4.15

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Langkah 4.16

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Langkah 4.17

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Langkah 4.18

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [5])$

Langkah 4.19

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0)$

Langkah 4.20

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.20.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$

Langkah 4.20.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.21

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.21.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.21.1.1

Kalikan $2 x + 5$ dengan $\frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 x + 5) \cdot 2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.21.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $2 x + 5$ .

$\frac{2 (2 x + 5)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.21.2

Untuk menuliskan $2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (2 x + 5)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 (2 x + 5) + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.21.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x + 5) + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.21.4.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x + 5) + 2 ({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.4.1.2

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x + 5) + 2 ({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.4.2

Kalikan ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.21.4.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.4.2.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{2}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{1})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.4.3

Sederhanakan ${(4 x - 1)}^{1}$ .

$\frac{2 (2 x + 5 + 4 x - 1)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.4.4

Tambahkan $2 x$ dan $4 x$ .

$\frac{2 (6 x + 5 - 1)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.4.5

Kurangi $1$ dengan $5$ .

$\frac{2 (6 x + 4)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.4.6

Faktorkan $2$ dari $6 x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.21.4.6.1

Faktorkan $2$ dari $6 x$ .

$\frac{2 (2 (3 x) + 4)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.4.6.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 (2 (3 x) + 2 (2))}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.4.6.3

Faktorkan $2$ dari $2 (3 x) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (2 (3 x + 2))}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{2 \cdot 2 (3 x + 2)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.4.7

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4 (3 x + 2)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{4 (3 x + 2)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (3 x + 2)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$