Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{3} (x) d x$

Langkah 1

Faktorkan $\cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

Langkah 2

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\cos^{2} (x)$ sebagai $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Langkah 3

Biarkan $u = \sin (x)$ . Kemudian $d u = \cos (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = \sin (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Langkah 3.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Langkah 3.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 3.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 3.5

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 3.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Langkah 3.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} d u$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

Langkah 5

Terapkan aturan konstanta.

$u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$u]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} u^{2} d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $u^{3}$ .

$u]_{0}^{1} - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Langkah 9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi $u$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(1) + 0 - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Langkah 9.2

Evaluasi $\frac{u^{3}}{3}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$1 + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 9.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 9.3.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Langkah 9.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Langkah 9.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Langkah 9.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Langkah 9.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Langkah 9.3.4.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$1 - (\frac{1}{3} - 0)$

Langkah 9.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} + 0)$

Langkah 9.3.6

Tambahkan $\frac{1}{3}$ dan $0$ .

$1 - \frac{1}{3}$

Langkah 9.3.7

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Langkah 9.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 - 1}{3}$

Langkah 9.3.9

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$\frac{2}{3}$

Langkah 10

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{2}{3}$

Bentuk Desimal:

$0.\overline{6}$