Kalkulus Contoh

$y = \ln (3 x^{2} + 3 x + 6)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 3 x^{2} + 3 x + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x^{2} + 3 x + 6$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x + 6]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x + 6]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x^{2} + 3 x + 6$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x + 6]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} + 3 x + 6$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Langkah 1.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Langkah 1.2.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Langkah 1.2.5

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Langkah 1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Langkah 1.2.7

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 + \frac{d}{d x} [6])$

Langkah 1.2.8

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 + 0)$

Langkah 1.2.9

Tambahkan $6 x + 3$ dan $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3)$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3)$ .

$(6 x + 3) \frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6}$

Langkah 1.3.2

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2} + 3 x + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2}$ .

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 x + 6}$

Langkah 1.3.2.2

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 6}$

Langkah 1.3.2.3

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 2}$

Langkah 1.3.2.4

Faktorkan $3$ dari $3 (x^{2}) + 3 x$ .

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2} + x) + 3 \cdot 2}$

Langkah 1.3.2.5

Faktorkan $3$ dari $3 (x^{2} + x) + 3 \cdot 2$ .

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2} + x + 2)}$

Langkah 1.3.3

Kalikan $6 x + 3$ dengan $\frac{1}{3 (x^{2} + x + 2)}$ .

$\frac{6 x + 3}{3 (x^{2} + x + 2)}$

Langkah 1.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $6 x + 3$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Faktorkan $3$ dari $6 x$ .

$\frac{3 (2 x) + 3}{3 (x^{2} + x + 2)}$

Langkah 1.3.4.2

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1}{3 (x^{2} + x + 2)}$

Langkah 1.3.4.3

Faktorkan $3$ dari $3 (2 x) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 2)}$

Langkah 1.3.4.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 2)}$

Langkah 1.3.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 2}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 2 x + 1$ dan $g (x) = x^{2} + x + 2$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.2.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 2) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} + x + 2$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.2.10

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.2.11

Tambahkan $2 x + 1$ dan $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.3

Naikkan $2 x + 1$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - ({(2 x + 1)}^{1} (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.4

Naikkan $2 x + 1$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - ({(2 x + 1)}^{1} {(2 x + 1)}^{1})}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - {(2 x + 1)}^{1 + 1}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - {(2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 2 - {(2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - {(2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.1.2

Tulis kembali ${(2 x + 1)}^{2}$ sebagai $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - ((2 x + 1) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.1.3

Perluas $(2 x + 1) (2 x + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.1.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1.4.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.1.4.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1.4.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.1.4.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.1.4.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.1.4.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.1.4.1.5

Kalikan $2 x$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.1.4.1.6

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.1.4.2

Tambahkan $2 x$ dan $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 4 x + 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.1.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1.6.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.1.6.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.1.6.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x^{2} - 4 x - 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.2

Kurangi $4 x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x - 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.3

Kurangi $4 x$ dengan $2 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x + 4 - 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.4

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - 2 x + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - (2 x) + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x^{2}) - (2 x)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 2 x) + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.6

Tulis kembali $3$ sebagai $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 2 x) - 1 (- 3)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x^{2} + 2 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 2 x - 3)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.8

Tulis kembali $- (2 x^{2} + 2 x - 3)$ sebagai $- 1 (2 x^{2} + 2 x - 3)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{2} + 2 x - 3)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

Langkah 2.7.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} + 2 x - 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$