Kalkulus Contoh

$\int x^{2} \arctan (x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \arctan (x)$ dan $d v = x^{2}$ .

$\arctan (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\arctan (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $\arctan (x)$ dan $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 4

Gabungkan $x^{3}$ dan $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 5

Bagilah $x^{3}$ dengan $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Langkah 5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + 0 + x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Langkah 5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Langkah 5.6

Mengeluarkan suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

Langkah 5.7

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x + \frac{- x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\int x d x + \int \frac{- x}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\int x d x + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 10

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 10.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 10.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 10.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Langkah 11.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{2 u} d u)$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Langkah 13

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C))$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} \arctan (x) x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

Langkah 14.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\arctan (x)$ .

$\frac{\arctan (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

Langkah 14.2.2

Gabungkan $\frac{\arctan (x)}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

Langkah 14.2.3

Untuk menuliskan $- \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) \cdot \frac{3}{3} + C$

Langkah 14.2.4

Gabungkan $- \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |))$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) \cdot 3}{3} + C$

Langkah 14.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\arctan (x) x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) \cdot 3}{3} + C$

Langkah 14.2.6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) \cdot 3}{3} + C$

Langkah 14.2.7

Gabungkan $\ln (| u |)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2}) \cdot 3}{3} + C$

Langkah 14.2.8

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3} - 3 (\frac{1}{3}) (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

Langkah 14.2.9

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{- 3}{3} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

Langkah 14.2.10

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.10.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

Langkah 14.2.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

Langkah 14.2.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

Langkah 14.2.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

Langkah 14.2.10.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3} - (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

Langkah 15

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$\frac{\arctan (x) x^{3} - (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2})}{3} + C$

Langkah 16

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\arctan (x) x^{3} - \frac{x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}}{3} + C$

Langkah 17

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} (\arctan (x) x^{3} - \frac{1}{2} (x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |))) + C$