Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Langkah 1

Tulis integral sebagai limit ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = - \frac{1}{x}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ sehingga $x^{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = - \frac{1}{x}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.3.3.2

Kalikan $x^{- 2}$ dengan $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.1.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Langkah 2.1.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.5.1

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Langkah 2.1.3.5.2

Tambahkan $x^{- 2}$ dan $0$ .

$x^{- 2}$

Langkah 2.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = - \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = - \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

Langkah 2.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

Langkah 2.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- \frac{1}{t}} e^{u} d u$

Langkah 3

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} e^{u}]_{- 1}^{- \frac{1}{t}}$

Langkah 4

Evaluasi $e^{u}$ pada $- \frac{1}{t}$ dan pada $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - e^{- 1}$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Langkah 5.1.2

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$e^{lim_{t \to \infty} - \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Langkah 5.1.3

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$e^{- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Langkah 5.2

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{t}$ mendekati $0$ .

$e^{- 0} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Langkah 5.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Evaluasi limit dari $e^{- 1}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$e^{- 0} - e^{- 1}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$e^{0} - e^{- 1}$

Langkah 5.3.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$1 - e^{- 1}$

Langkah 5.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{e}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$1 - \frac{1}{e}$

Bentuk Desimal:

$0.63212055 \dots$