Kalkulus Contoh

$y = {(1 + \frac{1}{x})}^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = 1 + \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + \frac{1}{x}$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Langkah 2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Langkah 2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (- x^{- 2})$

Langkah 2.5

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} x^{- 2}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 3.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $- 3$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

Langkah 3.2.2

Gabungkan $\frac{- 3}{x^{2}}$ dan ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$\frac{- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 3.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{3 {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 3.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{3 {(\frac{x + 1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 3.3.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x + 1}{x}$ .

$- \frac{3 \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Langkah 3.4

Gabungkan $3$ dan $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Langkah 3.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- (\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.6

Gabungkan.

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

Langkah 3.7

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

Langkah 3.7.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{4}}$

Langkah 3.8

Kalikan $3 {(x + 1)}^{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{4}}$