Kalkulus Contoh

$\int_{4}^{\infty} \frac{1}{{(x - 3)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Langkah 1

Tulis integral sebagai limit ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{4}^{t} \frac{1}{{(x - 3)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = x - 3$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = x - 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.1.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Langkah 2.3

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x - 3$ .

$u_{upper} = t - 3$

Langkah 2.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = t - 3$

Langkah 2.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Langkah 3

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan $u^{\frac{3}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 3.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 3.2.2

Kalikan $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Langkah 3.2.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Langkah 3.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{- \frac{3}{2}} d u$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 u^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{t - 3}$

Langkah 5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ pada $t - 3$ dan pada $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$lim_{t \to \infty} - 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot 1$

Langkah 5.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + 2$

Langkah 6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + lim_{t \to \infty} 2$

Langkah 6.1.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + lim_{t \to \infty} 2$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan penjelasan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t - 3)}^{\frac{1}{2}}} + lim_{t \to \infty} 2$

Langkah 6.1.3.2

Tulis kembali ${(t - 3)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai $\sqrt{t - 3}$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\sqrt{t - 3}} + lim_{t \to \infty} 2$

Langkah 6.2

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{\sqrt{t - 3}}$ mendekati $0$ .

$- 2 \cdot 0 + lim_{t \to \infty} 2$

Langkah 6.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$- 2 \cdot 0 + 2$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$0 + 2$

Langkah 6.3.2.2

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$2$