Kalkulus Contoh

${(2 y + 1)}^{3} - 24 x = - 3$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} ({(2 y + 1)}^{3} - 24 x) = \frac{d}{d x} (- 3)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan Teorema Binomial.

$\frac{d}{d x} [{(2 y)}^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 y$ .

$\frac{d}{d x} [2^{3} y^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Langkah 2.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Langkah 2.2.1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 y$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 (2^{2} y^{2}) \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Langkah 2.2.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 (4 y^{2}) \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Langkah 2.2.1.5

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Langkah 2.2.1.6

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Langkah 2.2.1.7

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Langkah 2.2.1.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y \cdot 1 + 1^{3} - 24 x]$

Langkah 2.2.1.9

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1^{3} - 24 x]$

Langkah 2.2.1.10

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1 - 24 x]$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1 - 24 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [8 y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 y^{3}$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$8 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$8 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$8 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 2.3.4

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$24 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$24 y^{2} y' + 12 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$24 y^{2} y' + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 2.4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 2.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 2.4.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 y y') + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 2.4.4

Kalikan $2$ dengan $12$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 2.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 y$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 2.5.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 2.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Langkah 2.7

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Karena $- 24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 24 x$ terhadap $x$ adalah $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24 \cdot 1$

Langkah 2.7.3

Kalikan $- 24$ dengan $1$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24$

Langkah 2.8

Tambahkan $24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y'$ dan $0$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' - 24$

Langkah 3

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' - 24 = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tambahkan $24$ ke kedua sisi persamaan.

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' = 24$

Langkah 5.2

Faktorkan $6 y'$ dari $24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $6 y'$ dari $24 y^{2} y'$ .

$6 y' (4 y^{2}) + 24 y y' + 6 y' = 24$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $6 y'$ dari $24 y y'$ .

$6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y) + 6 y' = 24$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $6 y'$ dari $6 y'$ .

$6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y) + 6 y' \cdot 1 = 24$

Langkah 5.2.4

Faktorkan $6 y'$ dari $6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y)$ .

$6 y' (4 y^{2} + 4 y) + 6 y' \cdot 1 = 24$

Langkah 5.2.5

Faktorkan $6 y'$ dari $6 y' (4 y^{2} + 4 y) + 6 y' \cdot 1$ .

$6 y' (4 y^{2} + 4 y + 1) = 24$

Langkah 5.3

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali $4 y^{2}$ sebagai ${(2 y)}^{2}$ .

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 4 y + 1) = 24$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 4 y + 1^{2}) = 24$

Langkah 5.3.3

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$4 y = 2 \cdot (2 y) \cdot 1$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali polinomialnya.

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 2 \cdot (2 y) \cdot 1 + 1^{2}) = 24$

Langkah 5.3.5

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = 2 y$ dan $b = 1$ .

$6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$ dengan $6 {(2 y + 1)}^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$ dengan $6 {(2 y + 1)}^{2}$ .

$\frac{6 y' {(2 y + 1)}^{2}}{6 {(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 y' {(2 y + 1)}^{2}}{6 {(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Langkah 5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' {(2 y + 1)}^{2}}{{(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Langkah 5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari ${(2 y + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' {(2 y + 1)}^{2}}{{(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Langkah 5.4.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $24$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1

Faktorkan $6$ dari $24$ .

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Langkah 5.4.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.2.1

Faktorkan $6$ dari $6 {(2 y + 1)}^{2}$ .

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 ({(2 y + 1)}^{2})}$

Langkah 5.4.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Langkah 5.4.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$