Kalkulus Contoh

$\int \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positif.

$\int \frac{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{\sqrt{\cos^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Langkah 2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan $\frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)}$ dan $\cos (t)$ .

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Langkah 2.2.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Langkah 2.2.3

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Langkah 2.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (t)} d t$

Langkah 2.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Langkah 2.2.6

Konversikan dari $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ ke $\cot^{2} (t)$ .

$\int \cot^{2} (t) d t$

Langkah 3

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\cot^{2} (t)$ sebagai $- 1 + \csc^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Langkah 5

Terapkan aturan konstanta.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

Langkah 6

Karena turunan dari $- \cot (t)$ adalah $\csc^{2} (t)$ , maka integral dari $\csc^{2} (t)$ adalah $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

Langkah 7

Sederhanakan.

$- t - \cot (t) + C$

Langkah 8

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (x)$ .

$- \arcsin (x) - \cot (\arcsin (x)) + C$