Kalkulus Contoh

$\int \frac{x^{3} + x^{2} - x + 1}{x^{3}} d x$

Langkah 1

Pindahkan $x^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Langkah 2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

Langkah 2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{- 3} d x$

Langkah 3

Perluas $(x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{- 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\int (x^{3} + x^{2} - x) x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

$\int (x^{3} + x^{2}) x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$\int x^{3} x^{- 3} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Langkah 3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int x^{3 - 3} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Langkah 3.5

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$\int x^{0} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Langkah 3.6

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\int 1 + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Langkah 3.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 1 + x^{2 - 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Langkah 3.8

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Langkah 3.9

Buang faktor negatif.

$\int 1 + x^{- 1} - (x \cdot x^{- 3}) + 1 x^{- 3} d x$

Langkah 3.10

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - (x^{1} x^{- 3}) + 1 x^{- 3} d x$

Langkah 3.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 1 + x^{- 1} - x^{1 - 3} + 1 x^{- 3} d x$

Langkah 3.12

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x^{- 2} + 1 x^{- 3} d x$

Langkah 3.13

Kalikan $x^{- 3}$ dengan $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

Langkah 3.14

Susun kembali $1$ dan $x^{- 1}$ .

$\int x^{- 1} + 1 - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

Langkah 3.15

Pindahkan $1$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} + 1 + x^{- 3} d x$

Langkah 3.16

Pindahkan $1$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3} + 1 d x$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Langkah 5

Integral dari $x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int d x$

Langkah 9

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + x + C$

Langkah 10

Sederhanakan.

$\ln (| x |) + \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^{2}} + x + C$