Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{2} - x + 11}{7 x^{2} - x + 2}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - x + 11}{lim_{x \to \infty} 7 x^{2} - x + 2}$

Langkah 1.2

Limit tak hingga dari Polinomial yang koefisien pertamanya negatif adalah tak hingga negatif.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{2} - x + 2}$

Langkah 1.3

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{- \infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{- \infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{2} - x + 11}{7 x^{2} - x + 2} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{2} - x + 11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{2} - x + 11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x^{2} - x + 11$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Langkah 3.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Langkah 3.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Langkah 3.5

Karena $11$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $11$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Langkah 3.6

Tambahkan $- 2 x - 1$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Langkah 3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $7 x^{2} - x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Langkah 3.8

Evaluasi $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Langkah 3.8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Langkah 3.8.3

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Langkah 3.9

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Langkah 3.9.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}$

Langkah 3.9.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1 + \frac{d}{d x} [2]}$

Langkah 3.10

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1 + 0}$

Langkah 3.11

Tambahkan $14 x - 1$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1}$

Langkah 4

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Langkah 5.1.2

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Langkah 5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Langkah 5.2.2

Bagilah $14$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{1}{x}}{14 - \frac{1}{x}}$

Langkah 5.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 2 - \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

Langkah 5.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{- lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

Langkah 5.5

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

Langkah 6

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{- 2 - 0}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

Langkah 7

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{- 2 - 0}{lim_{x \to \infty} 14 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 7.2

Evaluasi limit dari $14$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{- 2 - 0}{14 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 8

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{- 2 - 0}{14 - 0}$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{- 2 + 0}{14 - 0}$

Langkah 9.1.2

Tambahkan $- 2$ dan $0$ .

$\frac{- 2}{14 - 0}$

Langkah 9.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{- 2}{14 + 0}$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $14$ dan $0$ .

$\frac{- 2}{14}$

Langkah 9.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $14$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{14}$

Langkah 9.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $14$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 7}$

Langkah 9.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 7}$

Langkah 9.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{7}$

Langkah 9.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{7}$