Kalkulus Contoh

$y = \frac{a}{x} - \frac{b}{x^{2}} + \frac{c}{x^{3}}$

Langkah 1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{a}{x} - \frac{b}{x^{2}} + \frac{c}{x^{3}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Langkah 2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $a$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{a}{x}$ terhadap $x$ adalah $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$a (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Langkah 3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $- b$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{b}{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $- b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$a (- x^{- 2}) - b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$a (- x^{- 2}) - b \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2}$ .

$a (- x^{- 2}) - b (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$a (- x^{- 2}) - b (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$a (- x^{- 2}) - b (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$a (- x^{- 2}) - b (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Langkah 3.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a (- x^{- 2}) - b (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Langkah 3.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$a (- x^{- 2}) - b (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Langkah 3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$a (- x^{- 2}) - b (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Langkah 3.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$a (- x^{- 2}) - b (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Langkah 3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$a (- x^{- 2}) - b (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Langkah 3.9

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$a (- x^{- 2}) - b (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Langkah 3.10

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$

Langkah 4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{c}{x^{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $c$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{c}{x^{3}}$ terhadap $x$ adalah $c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Langkah 4.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{3}}$ sebagai ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x^{3}$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 4.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{3}$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Langkah 4.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Langkah 4.5.2

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Langkah 4.6

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Langkah 4.7

Kalikan $x^{- 6}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Langkah 4.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (- 3 x^{2 - 6})$

Langkah 4.7.3

Kurangi $6$ dengan $2$ .

$a (- x^{- 2}) + 2 b x^{- 3} + c (- 3 x^{- 4})$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$a (- \frac{1}{x^{2}}) + 2 b x^{- 3} + c (- 3 x^{- 4})$

Langkah 5.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$a (- \frac{1}{x^{2}}) + 2 b \frac{1}{x^{3}} + c (- 3 x^{- 4})$

Langkah 5.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$a (- \frac{1}{x^{2}}) + 2 b \frac{1}{x^{3}} + c (- 3 \frac{1}{x^{4}})$

Langkah 5.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Gabungkan $a$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{a}{x^{2}} + 2 b \frac{1}{x^{3}} + c (- 3 \frac{1}{x^{4}})$

Langkah 5.4.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{a}{x^{2}} + b \frac{2}{x^{3}} + c (- 3 \frac{1}{x^{4}})$

Langkah 5.4.3

Gabungkan $b$ dan $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{a}{x^{2}} + \frac{b \cdot 2}{x^{3}} + c (- 3 \frac{1}{x^{4}})$

Langkah 5.4.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $b$ .

$- \frac{a}{x^{2}} + \frac{2 \cdot b}{x^{3}} + c (- 3 \frac{1}{x^{4}})$

Langkah 5.4.5

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{a}{x^{2}} + \frac{2 b}{x^{3}} + c \frac{- 3}{x^{4}}$

Langkah 5.4.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{a}{x^{2}} + \frac{2 b}{x^{3}} + c (- \frac{3}{x^{4}})$

Langkah 5.4.7

Gabungkan $c$ dan $\frac{3}{x^{4}}$ .

$- \frac{a}{x^{2}} + \frac{2 b}{x^{3}} - \frac{c \cdot 3}{x^{4}}$

Langkah 5.4.8

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $c$ .

$- \frac{a}{x^{2}} + \frac{2 b}{x^{3}} - \frac{3 c}{x^{4}}$