Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \frac{2 x^{3} + x}{x^{2} + x^{4} + 1} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{2} + x^{4} + 1$ . Kemudian $d u = (4 x^{3} + 2 x) d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = (2 x^{3} + x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{2} + x^{4} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2} + x^{4} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x^{4} + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + x^{4} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$2 x + 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 4 x^{3} + 0$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Tambahkan $2 x + 4 x^{3}$ dan $0$ .

$2 x + 4 x^{3}$

Langkah 1.1.6.2

Susun kembali suku-suku.

$4 x^{3} + 2 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{2} + x^{4} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 0^{4} + 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0^{4} + 1$

Langkah 1.3.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 1.3.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{2} + x^{4} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1^{4} + 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 1 + 1^{4} + 1$

Langkah 1.5.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 1 + 1 + 1$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Langkah 1.5.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$u_{upper} = 3$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int_{1}^{3} \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u$

Langkah 4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{3}$

Langkah 5

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $3$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})}{2}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $3$ adalah $3$ .

$\frac{\ln (\frac{3}{| 1 |})}{2}$

Langkah 7.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{\ln (\frac{3}{1})}{2}$

Langkah 7.3

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$\frac{\ln (3)}{2}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{\ln (3)}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.54930614 \dots$

Langkah 9