Kalkulus Contoh

$lim_{h \to 0} \frac{\arcsin (x + h) - \arcsin (x)}{h}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{h \to 0} \arcsin (x + h) - \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \arcsin (x + h) - lim_{h \to 0} \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi limit dari $\arcsin (x)$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \arcsin (x + h) - \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 1.1.2.3

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\arcsin (x + 0) - \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 1.1.2.3.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{\arcsin (x) - \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 1.1.2.4

Kurangi $\arcsin (x)$ dengan $\arcsin (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{h \to 0} \frac{\arcsin (x + h) - \arcsin (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h) - \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h) - \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\arcsin (x + h) - \arcsin (x)$ terhadap $h$ adalah $\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 1.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ adalah $f' (g (h)) g' (h)$ di mana $f (h) = \arcsin (h)$ dan $g (h) = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 1.3.3.1.2

Turunan dari $\arcsin (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 1.3.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 1.3.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + h$ terhadap $h$ adalah $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 1.3.3.3

Karena $x$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $x$ terhadap $h$ adalah $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 1.3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ adalah $n h^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 1.3.3.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 1.3.3.6

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$ dengan $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 1.3.4

Karena $- \arcsin (x)$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $- \arcsin (x)$ terhadap $h$ adalah $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 1.3.5

Tambahkan $\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$ dan $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ adalah $n h^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}}{1}$

Langkah 1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} \cdot 1$

Langkah 1.5

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$ dengan $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$

Langkah 2.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$

Langkah 2.3

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - {(x + h)}^{2}}}$

Langkah 2.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}}$

Langkah 2.5

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}}$

Langkah 2.6

Pindahkan pangkat $2$ dari ${(x + h)}^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}}$

Langkah 2.7

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}}$

Langkah 2.8

Evaluasi limit dari $x$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}}$

Langkah 3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + 0)}^{2}}}$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(x + 0)}^{2}}}$

Langkah 4.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = x + 0$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x + 0) (1 - (x + 0))}}$

Langkah 4.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Tambahkan $1 + x$ dan $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - (x + 0))}}$

Langkah 4.1.3.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Langkah 4.2

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ dengan $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Langkah 4.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ dengan $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Langkah 4.3.2

Naikkan $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Langkah 4.3.3

Naikkan $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Langkah 4.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Langkah 4.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Langkah 4.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ sebagai $(1 + x) (1 - x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ sebagai ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Langkah 4.3.6.5

Sederhanakan.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$