Kalkulus Contoh

$y = \frac{x - x^{2}}{\sqrt{x}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x - x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2

Faktorkan $x$ dari $x - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{1} - x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 1 - x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.3

Faktorkan $x$ dari $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 1 + x (- x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (1 - x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 3

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d x} [x (1 - x) x^{- \frac{1}{2}}]$

Langkah 4

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x (1 - x)]$

Langkah 4.2

Kalikan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (1 - x)]$

Langkah 4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 1} (1 - x)]$

Langkah 4.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (1 - x)]$

Langkah 4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (1 - x)]$

Langkah 4.5

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (1 - x)]$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 1 - x$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 6.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 6.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 6.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 6.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 6.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 6.6.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 6.6.3

Tulis kembali $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ sebagai $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 6.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 10.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 13

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Terapkan sifat distributif.

$- x^{\frac{1}{2}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Kalikan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $1$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.2.3

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 14.2.4

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.4.1

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.4.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 14.2.4.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 14.2.4.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 14.2.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2}$

Langkah 14.2.4.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 14.2.5

Untuk menuliskan $- x^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.2.6

Gabungkan $- x^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.2.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.2.9

Kurangi $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.2.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$