Kalkulus Contoh

$lim_{n \to \infty} {(\frac{n}{n + 1})}^{n}$

Langkah 1

Gunakan sifat dari logaritma untuk menyederhanakan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(\frac{n}{n + 1})}^{n}$ sebagai $e^{\ln ({(\frac{n}{n + 1})}^{n})}$ .

$lim_{n \to \infty} e^{\ln ({(\frac{n}{n + 1})}^{n})}$

Langkah 1.2

Perluas $\ln ({(\frac{n}{n + 1})}^{n})$ dengan memindahkan $n$ ke luar logaritma.

$lim_{n \to \infty} e^{n \ln (\frac{n}{n + 1})}$

Langkah 2

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$e^{lim_{n \to \infty} n \ln (\frac{n}{n + 1})}$

Langkah 3

Tulis kembali $n \ln (\frac{n}{n + 1})$ sebagai $\frac{\ln (\frac{n}{n + 1})}{\frac{1}{n}}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\ln (\frac{n}{n + 1})}{\frac{1}{n}}}$

Langkah 4

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$e^{\frac{lim_{n \to \infty} \ln (\frac{n}{n + 1})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Langkah 4.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$e^{\frac{\ln (lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Langkah 4.1.2.2

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $n$ dalam penyebut, yaitu $n$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Langkah 4.1.2.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{\ln (lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Langkah 4.1.2.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{\frac{\ln (lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Langkah 4.1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{\ln (lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Langkah 4.1.2.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{\frac{\ln (lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Langkah 4.1.2.3.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $n$ mendekati $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n}})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Langkah 4.1.2.3.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n}})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Langkah 4.1.2.3.5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $n$ mendekati $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{lim_{n \to \infty} 1 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Langkah 4.1.2.3.6

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Langkah 4.1.2.4

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{n}$ mendekati $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 0})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Langkah 4.1.2.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Langkah 4.1.2.5.2

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Langkah 4.1.2.5.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Langkah 4.1.3

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{n}$ mendekati $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Langkah 4.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{\frac{0}{0}}$

Langkah 4.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{n \to \infty} \frac{\ln (\frac{n}{n + 1})}{\frac{1}{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (\frac{n}{n + 1})]}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}$

Langkah 4.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (\frac{n}{n + 1})]}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ adalah $f' (g (n)) g' (n)$ di mana $f (n) = \ln (n)$ dan $g (n) = \frac{n}{n + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{n}{n + 1}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d n} [\frac{n}{n + 1}]}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d n} [\frac{n}{n + 1}]}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{n}{n + 1}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{n}{n + 1}} \frac{d}{d n} [\frac{n}{n + 1}]}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{n}{n + 1}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{1 \frac{n + 1}{n} \frac{d}{d n} [\frac{n}{n + 1}]}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.4

Kalikan $\frac{n + 1}{n}$ dengan $1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \frac{d}{d n} [\frac{n}{n + 1}]}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ adalah $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ di mana $f (n) = n$ dan $g (n) = n + 1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{(n + 1) \frac{d}{d n} [n] - n \frac{d}{d n} [n + 1]}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ adalah $n \cdot n^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{(n + 1) \cdot 1 - n \frac{d}{d n} [n + 1]}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.7

Kalikan $n + 1$ dengan $1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n + 1 - n \frac{d}{d n} [n + 1]}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $n + 1$ terhadap $n$ adalah $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [1]$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n + 1 - n (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [1])}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ adalah $n \cdot n^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n + 1 - n (1 + \frac{d}{d n} [1])}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.10

Karena $1$ konstan terhadap $n$ , turunan dari $1$ terhadap $n$ adalah $0$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n + 1 - n (1 + 0)}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.11

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n + 1 - n \cdot 1}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.12

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n + 1 - n}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.13

Kurangi $n$ dengan $n$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{0 + 1}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.14

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.15

Kalikan $\frac{n + 1}{n}$ dengan $\frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n {(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.16

Hapus faktor persekutuan dari $n + 1$ dan ${(n + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.16.1

Kalikan dengan $1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n + 1) \cdot 1}{n {(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.16.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.16.2.1

Faktorkan $n + 1$ dari $n {(n + 1)}^{2}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n + 1) \cdot 1}{(n + 1) n (n + 1)}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.16.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n + 1) \cdot 1}{(n + 1) n (n + 1)}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.16.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n (n + 1)}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Langkah 4.3.17

Tulis kembali $\frac{1}{n}$ sebagai $n^{- 1}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n (n + 1)}}{\frac{d}{d n} [n^{- 1}]}}$

Langkah 4.3.18

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ adalah $n \cdot n^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n (n + 1)}}{- n^{- 2}}}$

Langkah 4.3.19

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n (n + 1)}}{- \frac{1}{n^{2}}}}$

Langkah 4.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n (n + 1)} \cdot - 1 n^{2}}$

Langkah 4.5

Gabungkan $\frac{1}{n (n + 1)}$ dan $n^{2}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} - \frac{n^{2}}{n (n + 1)}}$

Langkah 4.6

Hapus faktor persekutuan dari $n^{2}$ dan $n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Faktorkan $n$ dari $n^{2}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} - \frac{n \cdot n}{n (n + 1)}}$

Langkah 4.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{lim_{n \to \infty} - \frac{n \cdot n}{n (n + 1)}}$

Langkah 4.6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{lim_{n \to \infty} - \frac{n}{n + 1}}$

Langkah 5

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $n$ .

$e^{- lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1}}$

Langkah 6

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $n$ dalam penyebut, yaitu $n$ .

$e^{- lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}}}$

Langkah 7

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Batalkan faktor persekutuan dari $n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{- lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}}}$

Langkah 7.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{- lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}}}$

Langkah 7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{- lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}}}$

Langkah 7.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{- lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}}}$

Langkah 7.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $n$ mendekati $\infty$ .

$e^{- \frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n}}}$

Langkah 7.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$e^{- \frac{1}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n}}}$

Langkah 7.5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $n$ mendekati $\infty$ .

$e^{- \frac{1}{lim_{n \to \infty} 1 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Langkah 7.6

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$e^{- \frac{1}{1 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Langkah 8

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{n}$ mendekati $0$ .

$e^{- \frac{1}{1 + 0}}$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$e^{- \frac{1}{1}}$

Langkah 9.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{- \frac{1}{1}}$

Langkah 9.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{- 1 \cdot 1}$

Langkah 9.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e^{- 1}$

Langkah 10

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{e}$

Bentuk Desimal:

$0.36787944 \dots$