Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 36}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = 6 \tan (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 6 \sec^{2} (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \sec^{2} (t)$ positif.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{6^{2} \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $36$ dari $36 \tan^{2} (t) + 36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Faktorkan $36$ dari $36 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.2.2

Faktorkan $36$ dari $36$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.2.3

Faktorkan $36$ dari $36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t) + 1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 \sec^{2} (t)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Tulis kembali $36 \sec^{2} (t)$ sebagai ${(6 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{{(6 \sec (t))}^{2}}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) (6 \sec (t))} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$\int \frac{1}{36 \tan (t) \sec (t)} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.2.2

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{36 \tan (t) \sec (t)}$ .

$\int \frac{6}{36 \tan (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $\frac{6}{36 \tan (t) \sec (t)}$ dan $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{36 \tan (t) \sec (t)} d t$

Langkah 2.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Faktorkan $6$ dari $6 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{36 \tan (t) \sec (t)} d t$

Langkah 2.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Faktorkan $6$ dari $36 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{6 (6 \tan (t) \sec (t))} d t$

Langkah 2.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{6 (6 \tan (t) \sec (t))} d t$

Langkah 2.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{6 \tan (t) \sec (t)} d t$

Langkah 2.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $\sec^{2} (t)$ dan $\sec (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Faktorkan $\sec (t)$ dari $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{6 \tan (t) \sec (t)} d t$

Langkah 2.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.1

Faktorkan $\sec (t)$ dari $6 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (6 \tan (t))} d t$

Langkah 2.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (6 \tan (t))} d t$

Langkah 2.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{\sec (t)}{6 \tan (t)} d t$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{6} \int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $\tan (t)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{1}{6} \int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Langkah 4.2

Tulis kembali $\sec (t)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{1}{6} \int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Langkah 4.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Langkah 4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Langkah 4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Langkah 4.5

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (t)}$ ke $\csc (t)$ .

$\frac{1}{6} \int \csc (t) d t$

Langkah 5

Integral dari $\csc (t)$ terhadap $t$ adalah $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Langkah 6

Sederhanakan.

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Langkah 7

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arctan (\frac{x}{6})$ .

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (\arctan (\frac{x}{6})) - \cot (\arctan (\frac{x}{6})) |) + C$

Langkah 8

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (\arctan (\frac{1}{6} x)) - \cot (\arctan (\frac{1}{6} x)) |) + C$