Kalkulus Contoh

$y = \sqrt[5]{\frac{5 x}{3 x - 2}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[5]{\frac{5 x}{3 x - 2}}$ sebagai ${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5}}$ .

$y = {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5}})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ dan $g (x) = \frac{5 x}{3 x - 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{5 x}{3 x - 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Langkah 4.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{5 x}{3 x - 2}$ .

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Langkah 4.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Langkah 4.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Langkah 4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Langkah 4.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Langkah 4.5.2

Kurangi $5$ dengan $1$ .

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Langkah 4.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Langkah 4.6.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{5 x}{3 x - 2}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$ .

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} (5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}])$

Langkah 4.6.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.3.1

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$

Langkah 4.6.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$

Langkah 4.6.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$

Langkah 4.6.3.3

Kalikan ${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}}$ dengan $1$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$

Langkah 4.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = 3 x - 2$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{(3 x - 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Langkah 4.8

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{(3 x - 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Langkah 4.8.2

Kalikan $3 x - 2$ dengan $1$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Langkah 4.8.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Langkah 4.8.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Langkah 4.8.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Langkah 4.8.6

Kalikan $3$ dengan $1$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Langkah 4.8.7

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Langkah 4.8.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.8.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Langkah 4.8.8.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - 3 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Langkah 4.8.8.3

Kurangi $3 x$ dengan $3 x$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{0 - 2}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Langkah 4.8.8.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.8.4.1

Kurangi $2$ dengan $0$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{- 2}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Langkah 4.8.8.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} (- \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}})$

Langkah 4.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Mengubah tanda eksponen dengan menulis kembali bilangan pokok sebagai kebalikannya.

${(\frac{3 x - 2}{5 x})}^{\frac{4}{5}} (- \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}})$

Langkah 4.9.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3 x - 2}{5 x}$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}}{{(5 x)}^{\frac{4}{5}}} (- \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}})$

Langkah 4.9.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 x$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}}} (- \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}})$

Langkah 4.9.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.4.1

Kalikan $\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}}}$ dengan $\frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{{(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}} \cdot 2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{2}}$

Langkah 4.9.4.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{2}}$

Langkah 4.9.4.3

Pindahkan ${(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5}}}$

Langkah 4.9.4.4

Kalikan ${(3 x - 2)}^{2}$ dengan ${(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.4.4.1

Pindahkan ${(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} ({(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{2})}$

Langkah 4.9.4.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5} + 2}}$

Langkah 4.9.4.4.3

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}$

Langkah 4.9.4.4.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}$

Langkah 4.9.4.4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{- 4 + 2 \cdot 5}{5}}}$

Langkah 4.9.4.4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.4.4.6.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{- 4 + 10}{5}}}$

Langkah 4.9.4.4.6.2

Tambahkan $- 4$ dan $10$ .

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = - \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{6}{5}}}$