Kalkulus Contoh

$y = x^{\frac{1}{x}}$

Langkah 1

Biarkan $y = f (x)$ , ambil logaritma alami dari kedua ruas $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\frac{1}{x}})$

Langkah 2

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Perluas $\ln (x^{\frac{1}{x}})$ dengan memindahkan $\frac{1}{x}$ ke luar logaritma.

$\ln (y) = \frac{1}{x} \ln (x)$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\ln (x)$ .

$\ln (y) = \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 3

Diferensialkan persamaan menggunakan kaidah rantai, dengan menganggap $y$ adalah fungsi dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan ruas bagian kiri $\ln (y)$ menggunakan kaidah rantai.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 3.2

Diferensialkan ruas bagian kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.2.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y'}{y} = \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.2.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.2.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 3.2.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 4

Isolasikan $y'$ dan substitusikan fungsi asli untuk $y$ di sisi kanan.

$y' = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} x^{\frac{1}{x}}$

Langkah 5

Sederhanakan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ dan $x^{\frac{1}{x}}$ .

$y' = \frac{(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 5.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{\frac{1}{x}}$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x}}$ .

$y' = \frac{x^{2} ((1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2})}{x^{2}}$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y' = \frac{x^{2} ((1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2})}{x^{2} \cdot 1}$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{x^{2} ((1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2})}{x^{2} \cdot 1}$

Langkah 5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2}}{1}$

Langkah 5.2.2.4

Bagilah $(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2}$ dengan $1$ .

$y' = (1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2}$

Langkah 5.3

Terapkan sifat distributif.

$y' = 1 x^{\frac{1}{x} - 2} - \ln (x) x^{\frac{1}{x} - 2}$

Langkah 5.4

Kalikan $x^{\frac{1}{x} - 2}$ dengan $1$ .

$y' = x^{\frac{1}{x} - 2} - \ln (x) x^{\frac{1}{x} - 2}$

Langkah 5.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $x^{\frac{1}{x} - 2} - \ln (x) x^{\frac{1}{x} - 2}$ .

$y' = x^{\frac{1}{x} - 2} - x^{\frac{1}{x} - 2} \ln (x)$