Kalkulus Contoh

$y = \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{4 - x^{2}}$ sebagai ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3

Kalikan eksponen dalam ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 - x^{2})}^{1}}$

Langkah 4

Sederhanakan.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{4 - x^{2}}$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{4 - x^{2}}$

Langkah 5.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{4 - x^{2}}$

Langkah 6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 4 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 - x^{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Langkah 6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Langkah 6.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 - x^{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Langkah 7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Langkah 8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Langkah 9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Langkah 10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Langkah 10.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Langkah 11

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Langkah 11.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Langkah 11.3

Pindahkan ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Langkah 11.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Langkah 12

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Langkah 13

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Langkah 14

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Langkah 15

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Langkah 16

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 1 \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Langkah 16.2

Kalikan $\frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Langkah 17

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{4 - x^{2}}$

Langkah 18

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{4 - x^{2}}$

Langkah 18.2

Gabungkan $\frac{2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{2} x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Langkah 19

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (x^{1} x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Langkah 20

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{1 + 2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Langkah 21

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{3}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Langkah 22

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{3}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Langkah 23

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{3}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Langkah 24

Susun kembali $4$ dan $- x^{2}$ .

$\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Langkah 25

Untuk menuliskan $2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Langkah 26

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Langkah 27

Kalikan ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.1

Pindahkan ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Langkah 27.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Langkah 27.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Langkah 27.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Langkah 27.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{1} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Langkah 28

Sederhanakan $2 x {(- x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Langkah 29

Tulis kembali $\frac{\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$ sebagai hasil kali.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 - x^{2}}$

Langkah 30

Kalikan $\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{4 - x^{2}}$ .

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 - x^{2})}$

Langkah 31

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

Langkah 32

Kalikan ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $- x^{2} + 4$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 32.1

Kalikan ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $- x^{2} + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 32.1.1

Naikkan $- x^{2} + 4$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{1}}$

Langkah 32.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Langkah 32.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Langkah 32.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Langkah 32.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 33

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 33.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 33.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 33.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 33.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 33.2.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 33.2.1.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 33.2.1.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 33.2.1.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 33.2.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 33.2.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 33.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 33.2.1.4

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 8 x + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 33.2.2

Tambahkan $- 2 x^{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{- x^{3} + 8 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 33.3

Faktorkan $x$ dari $- x^{3} + 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 33.3.1

Faktorkan $x$ dari $- x^{3}$ .

$\frac{x (- x^{2}) + 8 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 33.3.2

Faktorkan $x$ dari $8 x$ .

$\frac{x (- x^{2}) + x \cdot 8}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 33.3.3

Faktorkan $x$ dari $x (- x^{2}) + x \cdot 8$ .

$\frac{x (- x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 33.4

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2}$ .

$\frac{x (- (x^{2}) + 8)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 33.5

Tulis kembali $8$ sebagai $- 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (x^{2}) - 1 (- 8))}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 33.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2}) - 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (x^{2} - 8))}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 33.7

Tulis kembali $- (x^{2} - 8)$ sebagai $- 1 (x^{2} - 8)$ .

$\frac{x (- 1 (x^{2} - 8))}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 33.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x (x^{2} - 8)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$