Kalkulus Contoh

$\frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2} - x + 1$ dan $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1] - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7

Tambahkan $2 x - 1$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.11

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.12

Tambahkan $2 x + 1$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Perluas $(x^{2} + x + 1) (2 x - 1)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.3

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.4

Tulis kembali $- 1 x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.6.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.7

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} - 1 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.8

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} - x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.9

Kalikan $2 x$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} - x + 2 x + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.10

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} - x + 2 x - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.3

Tambahkan $- x^{2}$ dan $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - x + 2 x - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.4

Tambahkan $- x$ dan $2 x$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.5.1

Kalikan $- - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.5.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 + (- x^{2} + 1 x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.5.1.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 + (- x^{2} + x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 + (- x^{2} + x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.6

Perluas $(- x^{2} + x - 1) (2 x + 1)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.7.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.7.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.7.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.7.6.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.7

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x - 2 x - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x - 2 x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.8

Tambahkan $- x^{2}$ dan $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} + x^{2} + x - 2 x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.9

Kurangi $2 x$ dengan $x$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} + x^{2} - x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} + x^{2} - x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Kurangi $2 x^{3}$ dengan $2 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + x - 1 + 0 + x^{2} - x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.2.2

Tambahkan $x^{2} + x - 1$ dan $0$ .

$\frac{x^{2} + x - 1 + x^{2} - x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.2.3

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 + x^{2} + 0 - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.2.4

Tambahkan $x^{2} - 1 + x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{x^{2} - 1 + x^{2} - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.4

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2} - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 2}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$