Kalkulus Contoh

$\cos (x y) = 1 + \sin (y)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (\cos (x y)) = \frac{d}{d y} (1 + \sin (y))$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = \cos (y)$ dan $g (y) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d y} [x y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d y} [x y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = x$ dan $g (y) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 2.3.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$- \sin (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$- \sin (x y) (x + y x')$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$- \sin (x y) x - \sin (x y) (y x')$

Langkah 2.5.2

Susun kembali suku-suku.

$- x \sin (x y) - y \sin (x y) x'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \sin (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Langkah 3.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Langkah 3.2

Turunan dari $\sin (y)$ terhadap $y$ adalah $\cos (y)$ .

$0 + \cos (y)$

Langkah 3.3

Tambahkan $0$ dan $\cos (y)$ .

$\cos (y)$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- x \sin (x y) - y \sin (x y) x' = \cos (y)$

Langkah 5

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $- x \sin (x y) - y \sin (x y) x'$ .

$- x \sin (x y) - y x' \sin (x y) = \cos (y)$

Langkah 5.2

Tambahkan $x \sin (x y)$ ke kedua sisi persamaan.

$- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$ dengan $- y \sin (x y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$ dengan $- y \sin (x y)$ .

$\frac{- y x' \sin (x y)}{- y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y x' \sin (x y)}{y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y x' \sin (x y)}{y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Langkah 5.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (x y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Langkah 5.3.2.3.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Pisahkan pecahan.

$x' = \frac{1}{- y} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Langkah 5.3.3.1.2

Tulis kembali $\frac{\cos (y)}{\sin (x y)}$ sebagai hasil kali.

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Langkah 5.3.3.1.3

Tulis $\cos (y)$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\frac{\cos (y)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Langkah 5.3.3.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.4.1

Bagilah $\cos (y)$ dengan $1$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Langkah 5.3.3.1.4.2

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (x y)}$ ke $\csc (x y)$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Langkah 5.3.3.1.5

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.5.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{- 1 (- 1)}{- y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Langkah 5.3.3.1.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = - \frac{1}{y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Langkah 5.3.3.1.6

Kalikan $- \frac{1}{y} (\cos (y) \csc (x y))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.6.1

Gabungkan $\cos (y)$ dan $\frac{1}{y}$ .

$x' = - \frac{\cos (y)}{y} \csc (x y) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Langkah 5.3.3.1.6.2

Gabungkan $\csc (x y)$ dan $\frac{\cos (y)}{y}$ .

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Langkah 5.3.3.1.7

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (x y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Langkah 5.3.3.1.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x}{- y}$

Langkah 5.3.3.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} - \frac{x}{y}$

Langkah 6

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} - \frac{x}{y}$