Kalkulus Contoh

$\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = 5 \sec (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ positif.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 \sec (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $25$ dari $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $25$ dari $- 25$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $25$ dari $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $25 \tan^{2} (t)$ sebagai ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5 \tan (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $5 \tan (t)$ dari $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Langkah 2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int 5 \sec (t) \sec (t) d t$

Langkah 3

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 5 (\sec^{1} (t) \sec (t)) d t$

Langkah 4

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 5 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Langkah 5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 5 {\sec (t)}^{1 + 1} d t$

Langkah 6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int 5 \sec^{2} (t) d t$

Langkah 7

Karena $5$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$5 \int \sec^{2} (t) d t$

Langkah 8

Karena turunan dari $\tan (t)$ adalah $\sec^{2} (t)$ , maka integral dari $\sec^{2} (t)$ adalah $\tan (t)$ .

$5 (\tan (t) + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

$5 \tan (t) + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$5 \tan (arcsec (\frac{x}{5})) + C$

Langkah 11

Susun kembali suku-suku.

$5 \tan (arcsec (\frac{1}{5} x)) + C$