Kalkulus Contoh

$x \sqrt{1 + x^{2}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 + x^{2}}$ sebagai ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 + x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.3

Pindahkan ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 11

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 13

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 13.2

Gabungkan $\frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 14

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 15

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 16

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 17

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 17.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 17.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 18

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Langkah 19

Kalikan ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 20

Untuk menuliskan ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22

Kalikan ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{2} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x^{2} + {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.4

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{x^{2} + {(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23

Sederhanakan ${(1 + x^{2})}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + 1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24

Tambahkan $x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 25

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$