Kalkulus Contoh

$x^{2} - 3 \ln (y) + y^{2} = 10$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 3 \ln (y) + y^{2}) = \frac{d}{d x} (10)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 3 \ln (y) + y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 \ln (y)$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$2 x - 3 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.2.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$2 x - 3 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$2 x - 3 (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x - 3 (\frac{1}{y} y') + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.4

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $y'$ .

$2 x - 3 \frac{y'}{y} + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.5

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{y'}{y}$ .

$2 x + \frac{- 3 y'}{y} + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 x - \frac{3 y'}{y} + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$2 x - \frac{3 y'}{y} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x - \frac{3 y'}{y} + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$2 x - \frac{3 y'}{y} + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x - \frac{3 y'}{y} + 2 y y'$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y}$

Langkah 3

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y} = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, 1, y, 1$

Langkah 5.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y$

Langkah 5.2

Kalikan setiap suku pada $2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y} = 0$ dengan $y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan setiap suku dalam $2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y} = 0$ dengan $y$ .

$2 y y' y + 2 x y - \frac{3 y'}{y} y = 0 y$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Pindahkan $y$ .

$2 (y \cdot y) y' + 2 x y - \frac{3 y'}{y} y = 0 y$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y - \frac{3 y'}{y} y = 0 y$

Langkah 5.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3 y'}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$2 y^{2} y' + 2 x y + \frac{- 3 y'}{y} y = 0 y$

Langkah 5.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 y^{2} y' + 2 x y + \frac{- 3 y'}{y} y = 0 y$

Langkah 5.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y^{2} y' + 2 x y - 3 y' = 0 y$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y - 3 y' = 0$

Langkah 5.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y^{2} y' - 3 y' = - 2 x y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $2 y^{2} y' - 3 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $y'$ dari $2 y^{2} y'$ .

$y' (2 y^{2}) - 3 y' = - 2 x y$

Langkah 5.3.2.2

Faktorkan $y'$ dari $- 3 y'$ .

$y' (2 y^{2}) + y' \cdot - 3 = - 2 x y$

Langkah 5.3.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (2 y^{2}) + y' \cdot - 3$ .

$y' (2 y^{2} - 3) = - 2 x y$

Langkah 5.3.3

Bagi setiap suku pada $y' (2 y^{2} - 3) = - 2 x y$ dengan $2 y^{2} - 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (2 y^{2} - 3) = - 2 x y$ dengan $2 y^{2} - 3$ .

$\frac{y' (2 y^{2} - 3)}{2 y^{2} - 3} = \frac{- 2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y^{2} - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 y^{2} - 3)}{2 y^{2} - 3} = \frac{- 2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Langkah 5.3.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Langkah 5.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{2 y^{2} - 3}$