Kalkulus Contoh

$y = x^{\frac{2}{x}}$

Langkah 1

Biarkan $y = f (x)$ , ambil logaritma alami dari kedua ruas $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\frac{2}{x}})$

Langkah 2

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Perluas $\ln (x^{\frac{2}{x}})$ dengan memindahkan $\frac{2}{x}$ ke luar logaritma.

$\ln (y) = \frac{2}{x} \ln (x)$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $\ln (x)$ .

$\ln (y) = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Langkah 3

Diferensialkan persamaan menggunakan kaidah rantai, dengan menganggap $y$ adalah fungsi dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan ruas bagian kiri $\ln (y)$ menggunakan kaidah rantai.

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Langkah 3.2

Diferensialkan ruas bagian kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

Langkah 3.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 \ln (x)}{x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.2.4

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.2.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.2.5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 3.2.5.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 3.2.5.4.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Langkah 3.2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \cdot 1 + 2 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Langkah 3.2.6.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 + 2 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Langkah 3.2.6.2.2

Kalikan $2 (- \ln (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 - 2 \ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 3.2.6.2.2.2

Sederhanakan $- 2 \ln (x)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{y'}{y} = \frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$

Langkah 4

Isolasikan $y'$ dan substitusikan fungsi asli untuk $y$ di sisi kanan.

$y' = \frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}} x^{\frac{2}{x}}$

Langkah 5

Sederhanakan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$ dan $x^{\frac{2}{x}}$ .

$y' = \frac{(2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x}}}{x^{2}}$

Langkah 5.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{\frac{2}{x}}$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $(2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x}}$ .

$y' = \frac{x^{2} ((2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2})}{x^{2}}$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y' = \frac{x^{2} ((2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2})}{x^{2} \cdot 1}$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{x^{2} ((2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2})}{x^{2} \cdot 1}$

Langkah 5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{(2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2}}{1}$

Langkah 5.2.2.4

Bagilah $(2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2}$ dengan $1$ .

$y' = (2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2}$

Langkah 5.3

Terapkan sifat distributif.

$y' = 2 x^{\frac{2}{x} - 2} - \ln (x^{2}) x^{\frac{2}{x} - 2}$

Langkah 5.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 x^{\frac{2}{x} - 2} - \ln (x^{2}) x^{\frac{2}{x} - 2}$ .

$y' = 2 x^{\frac{2}{x} - 2} - x^{\frac{2}{x} - 2} \ln (x^{2})$