Kalkulus Contoh

$\int x \ln^{2} (x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln^{2} (x)$ dan $d v = x$ .

$\ln^{2} (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\ln^{2} (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $\ln^{2} (x)$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Langkah 3

Tulis kembali $\frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x}$ sebagai $\frac{1}{2} x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x} d x)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} (2 \ln (x))}{x} d x)$

Langkah 5.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} (2 \ln (x))$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x} d x)$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x^{1}} d x)$

Langkah 5.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x \cdot 1} d x)$

Langkah 5.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x \cdot 1} d x)$

Langkah 5.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 \ln (x))}{1} d x)$

Langkah 5.2.2.5

Bagilah $x (2 \ln (x))$ dengan $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x (2 \ln (x)) d x)$

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x (2 \ln (x)) d x$

Langkah 6

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \int x (\ln (x)) d x)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2}) \int x (\ln (x)) d x$

Langkah 7.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- 2}{2} \int x (\ln (x)) d x$

Langkah 7.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int x (\ln (x)) d x$

Langkah 7.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int x (\ln (x)) d x$

Langkah 7.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int x (\ln (x)) d x$

Langkah 7.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- 1}{1} \int x (\ln (x)) d x$

Langkah 7.3.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int x (\ln (x)) d x$

Langkah 8

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x)$ dan $d v = x$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 9.2

Gabungkan $\ln (x)$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 9.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Langkah 9.4

Kalikan $\frac{x^{2}}{2}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Langkah 9.5

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Langkah 9.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.2.1

Faktorkan $x$ dari $2 x$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Langkah 9.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Langkah 9.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Langkah 12

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Langkah 12.2

Tulis kembali $\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ sebagai $\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Langkah 12.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Untuk menuliskan $- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Langkah 12.3.2

Gabungkan $- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 12.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 12.3.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - 2 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Langkah 12.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - 2 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Langkah 12.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + 2 (- 1) \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Langkah 12.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Langkah 12.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Langkah 12.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{2}}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - 2 \frac{- x^{2}}{4}}{2} + C$

Langkah 12.4.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 (- 1) \frac{- x^{2}}{4}}{2} + C$

Langkah 12.4.3.3

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Langkah 12.4.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Langkah 12.4.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - \frac{- x^{2}}{2}}{2} + C$

Langkah 12.4.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.4.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} - - \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Langkah 12.4.4.2

Kalikan $- - \frac{x^{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} + 1 \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Langkah 12.4.4.2.2

Kalikan $\frac{x^{2}}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Langkah 12.4.5

Untuk menuliskan $- \ln (x) x^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Langkah 12.4.6

Gabungkan $- \ln (x) x^{2}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{- \ln (x) x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Langkah 12.4.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{- \ln (x) x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2}}{2} + C$

Langkah 12.4.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.8.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $- \ln (x) x^{2} \cdot 2 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.8.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $- \ln (x) x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2}}{2}}{2} + C$

Langkah 12.4.8.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2}}{2} + C$

Langkah 12.4.8.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + C$

Langkah 12.4.8.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- 2 \ln (x) + 1)}{2}}{2} + C$

Langkah 12.4.9

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 \ln (x)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x)) + 1)}{2}}{2} + C$

Langkah 12.4.10

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x)) - 1 (- 1))}{2}}{2} + C$

Langkah 12.4.11

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 \ln (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x) - 1))}{2}}{2} + C$

Langkah 12.4.12

Tulis kembali $- (2 \ln (x) - 1)$ sebagai $- 1 (2 \ln (x) - 1)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- 1 (2 \ln (x) - 1))}{2}}{2} + C$

Langkah 12.4.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \frac{x^{2} (2 \ln (x) - 1)}{2}}{2} + C$

Langkah 12.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} (\ln^{2} (x) x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} (2 \ln (x) - 1)) + C$