Kalkulus Contoh

$\int (π - x) \cos (π x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = π - x$ dan $d v = \cos (π x)$ .

$(π - x) (\frac{1}{π} \sin (π x)) - \int \frac{1}{π} \sin (π x) \cdot - 1 d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{π}$ dan $\sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{1}{π} \sin (π x) \cdot - 1 d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{1}{π}$ dan $\sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{\sin (π x)}{π} \cdot - 1 d x$

Langkah 2.3

Gabungkan $\frac{\sin (π x)}{π}$ dan $- 1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{\sin (π x) \cdot - 1}{π} d x$

Langkah 2.4

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $\sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{- 1 \cdot \sin (π x)}{π} d x$

Langkah 2.5

Tulis kembali $- 1 \sin (π x)$ sebagai $- \sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{- \sin (π x)}{π} d x$

Langkah 2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int - \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - - \int \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + 1 \int \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Langkah 4.2

Kalikan $\int \frac{\sin (π x)}{π} d x$ dengan $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \int \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{π}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{π}$ keluar dari integral.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} \int \sin (π x) d x$

Langkah 6

Biarkan $u = π x$ . Kemudian $d u = π d x$ sehingga $\frac{1}{π} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = π x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Langkah 6.1.2

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Langkah 6.1.4

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Langkah 7

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{π}$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{π}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{π}$ keluar dari integral.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $\frac{1}{π}$ dengan $\frac{1}{π}$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π π} \int \sin (u) d u$

Langkah 9.2

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{1} π} \int \sin (u) d u$

Langkah 9.3

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int \sin (u) d u$

Langkah 9.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{1 + 1}} \int \sin (u) d u$

Langkah 9.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \int \sin (u) d u$

Langkah 10

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C)$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tulis kembali $(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C)$ sebagai $\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u)) + C$ .

$\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u)) + C$

Langkah 11.2

Gabungkan $\frac{1}{π^{2}}$ dan $\cos (u)$ .

$\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} - \frac{\cos (u)}{π^{2}} + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $π x$ .

$\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} - \frac{\cos (π x)}{π^{2}} + C$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\sin (π x) x}{π}$ .

$\sin (π x) - \frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{\cos (π x)}{π^{2}} + C$

Langkah 13.2

Susun kembali suku-suku.

$\sin (π x) - \frac{1}{π} x \sin (π x) - \frac{1}{π^{2}} \cos (π x) + C$