Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} (e^{x} - e^{- 2 x}) d x$

Langkah 1

Hilangkan tanda kurung.

$\int_{0}^{1} e^{x} - e^{- 2 x} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{1} e^{x} d x + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

Langkah 3

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{- 2 x} d x$

Langkah 5

Biarkan $u = - 2 x$ . Kemudian $d u = - 2 d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = - 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 5.1.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2$

Langkah 5.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Langkah 5.3

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 5.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

Langkah 5.5

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Langkah 5.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Langkah 5.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 6.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{x}]_{0}^{1} - - \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 8.2

Kalikan $\int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$ dengan $1$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Langkah 10

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Langkah 11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi $e^{x}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Langkah 11.2

Evaluasi $e^{u}$ pada $- 2$ dan pada $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 11.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Sederhanakan.

$e - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 11.3.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$e - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 11.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 11.3.4

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Langkah 11.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1)$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Terapkan sifat distributif.

$e - 1 + \frac{1}{2} e^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Langkah 12.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{- 2}$ .

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Langkah 12.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Langkah 12.1.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.4.1

Pindahkan $e^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1}{2}$

Langkah 12.1.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{2}$

Langkah 12.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 12.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 12.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Langkah 12.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 2 - 1}{2}$

Langkah 12.5.2

Kurangi $1$ dengan $- 2$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 3}{2}$

Langkah 12.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

Langkah 13

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

Bentuk Desimal:

$1.28594947 \dots$

Langkah 14