Kalkulus Contoh

$y = x^{x^{2}}$

Langkah 1

Biarkan $y = f (x)$ , ambil logaritma alami dari kedua ruas $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{x^{2}})$

Langkah 2

Perluas $\ln (x^{x^{2}})$ dengan memindahkan $x^{2}$ ke luar logaritma.

$\ln (y) = x^{2} \ln (x)$

Langkah 3

Diferensialkan persamaan menggunakan kaidah rantai, dengan menganggap $y$ adalah fungsi dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan ruas bagian kiri $\ln (y)$ menggunakan kaidah rantai.

$\frac{y'}{y} = x^{2} \ln (x)$

Langkah 3.2

Diferensialkan ruas bagian kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan $x^{2} \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2.4.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2.4.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2.4.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2.4.2.2.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$\frac{y'}{y} = x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{y'}{y} = x + \ln (x) (2 x)$

Langkah 3.2.4.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{y'}{y} = 2 x \ln (x) + x$

Langkah 4

Isolasikan $y'$ dan substitusikan fungsi asli untuk $y$ di sisi kanan.

$y' = (2 x \ln (x) + x) x^{x^{2}}$

Langkah 5

Sederhanakan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $2 \ln (x)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$y' = (x \ln (x^{2}) + x) x^{x^{2}}$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$y' = x \ln (x^{2}) x^{x^{2}} + x \cdot x^{x^{2}}$

Langkah 5.3

Kalikan $x$ dengan $x^{x^{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pindahkan $x^{x^{2}}$ .

$y' = x^{x^{2}} x \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

Langkah 5.3.2

Kalikan $x^{x^{2}}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = x^{x^{2}} x^{1} \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

Langkah 5.4

Kalikan $x$ dengan $x^{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x^{1} x^{x^{2}}$

Langkah 5.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x^{1 + x^{2}}$