Kalkulus Contoh

$y = \tan (\sqrt{7 t})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{7 t}$ sebagai ${(7 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \tan ({(7 t)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\tan ({(7 t)}^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $7 t$ .

$\frac{d}{d y} [\tan (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = \tan (y)$ dan $g (y) = 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d y} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.2.2

Turunan dari $\tan (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d y} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d y} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.3

Karena $7^{\frac{1}{2}}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ terhadap $y$ adalah $7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [t^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 4.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ dan $g (y) = t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $t$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [t]))$

Langkah 4.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [t]))$

Langkah 4.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $t$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [t]))$

Langkah 4.5

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [t]))$

Langkah 4.6

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [t]))$

Langkah 4.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [t]))$

Langkah 4.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [t]))$

Langkah 4.8.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [t]))$

Langkah 4.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [t]))$

Langkah 4.10

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [t]))$

Langkah 4.11

Pindahkan $t^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [t]))$

Langkah 4.12

Gabungkan $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ dan $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [t])$

Langkah 4.13

Gabungkan $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ dan $\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [t]$

Langkah 4.14

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [t]$ sebagai $t'$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} t'$

Langkah 4.15

Gabungkan $\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ dan $t'$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$1 = \frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6

Selesaikan $t'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}} = 1$

Langkah 6.2

Kalikan kedua ruas dengan $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}} (2 t^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Sederhanakan $\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}} (2 t^{\frac{1}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $t^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t' = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.1.1.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'$ .

$t' \cdot 7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Kalikan $2 t^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$t' \cdot 7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) = 2 t^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.4

Bagi setiap suku pada $t' \cdot (7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})) = 2 t^{\frac{1}{2}}$ dengan $7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Bagilah setiap suku di $t' \cdot (7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})) = 2 t^{\frac{1}{2}}$ dengan $7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{t' \cdot (7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}))}{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})} = \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 6.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{t' \cdot \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})} = \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 6.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t' \cdot \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})} = \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 6.4.2.4

Bagilah $t'$ dengan $1$ .

$t' = \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 7

Ganti $t'$ dengan $\frac{d t}{d y}$ .

$\frac{d t}{d y} = \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}$