Kalkulus Contoh

$y = \frac{x - 2}{y + 3}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 2}{y + 3})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x - 2$ dan $g (x) = y + 3$ .

$\frac{(y + 3) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(y + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(y + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Langkah 3.2.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(y + 3) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{(y + 3) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Langkah 3.2.4.2

Kalikan $y + 3$ dengan $1$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Langkah 3.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

Langkah 3.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + 0)}{{(y + 3)}^{2}}$

Langkah 3.5

Tambahkan $y'$ dan $0$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y + 3 + (- x - - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Langkah 3.6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y + 3 - x y' - - 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Langkah 3.6.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{y + 3 - x y' + 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Langkah 3.6.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua ruas dengan ${(y + 3)}^{2}$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan $\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(y + 3)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

Langkah 5.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' {(y + 3)}^{2} = - x y' + y + 2 y' + 3$

Langkah 5.2.1.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + y + 2 y' + 3$

Langkah 5.2.1.2.2

Pindahkan $y$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + 2 y' + y + 3$

Langkah 5.3

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Karena $y'$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$- 1 y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali $- 1 y'$ sebagai $- y'$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan $y' {(y + 3)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Tulis kembali ${(y + 3)}^{2}$ sebagai $(y + 3) (y + 3)$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' ((y + 3) (y + 3))$

Langkah 5.3.3.2

Perluas $(y + 3) (y + 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y (y + 3) + 3 (y + 3))$

Langkah 5.3.3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3))$

Langkah 5.3.3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

Langkah 5.3.3.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

Langkah 5.3.3.3.1.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 \cdot y + 3 y + 3 \cdot 3)$

Langkah 5.3.3.3.1.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 y + 3 y + 9)$

Langkah 5.3.3.3.2

Tambahkan $3 y$ dan $3 y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 6 y + 9)$

Langkah 5.3.3.4

Terapkan sifat distributif.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' \cdot 9$

Langkah 5.3.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + y' \cdot 9$

Langkah 5.3.3.5.2

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $y'$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 \cdot y'$

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 y'$

Langkah 5.3.4

Karena $y'$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' = - y' x + 2 y' + y + 3$

Langkah 5.3.5

Pindahkan semua suku yang mengandung $y'$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Tambahkan $y' x$ ke kedua sisi persamaan.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x = 2 y' + y + 3$

Langkah 5.3.5.2

Kurangkan $2 y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x - 2 y' = y + 3$

Langkah 5.3.5.3

Kurangi $2 y'$ dengan $9 y'$ .

$y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y' = y + 3$

Langkah 5.3.6

Faktorkan $y'$ dari $y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.6.1

Faktorkan $y'$ dari $y' y^{2}$ .

$y' (y^{2}) + 6 y' y + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Langkah 5.3.6.2

Faktorkan $y'$ dari $6 y' y$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Langkah 5.3.6.3

Faktorkan $y'$ dari $y' x$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Langkah 5.3.6.4

Faktorkan $y'$ dari $7 y'$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Langkah 5.3.6.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (y^{2}) + y' (6 y)$ .

$y' (y^{2} + 6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Langkah 5.3.6.6

Faktorkan $y'$ dari $y' (y^{2} + 6 y) + y' (x)$ .

$y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Langkah 5.3.6.7

Faktorkan $y'$ dari $y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7$ .

$y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$

Langkah 5.3.7

Bagi setiap suku pada $y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ dengan $y^{2} + 6 y + x + 7$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.1

Bagilah setiap suku di $y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ dengan $y^{2} + 6 y + x + 7$ .

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Langkah 5.3.7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} + 6 y + x + 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Langkah 5.3.7.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Langkah 5.3.7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$