Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x - 5) (3 - x)}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} (x - 5) (3 - x)}$

Langkah 1.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} (x - 5) (3 - x)}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x (3 - x) - 5 (3 - x)}$

Langkah 1.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot 3 + x (- x) - 5 (3 - x)}$

Langkah 1.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot 3 + x (- x) - 5 \cdot 3 - 5 (- x)}$

Langkah 1.1.3.4

Sederhanakan dengan saling menukar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1

Susun kembali $x$ dan $3$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 \cdot x + x (- x) - 5 \cdot 3 - 5 (- x)}$

Langkah 1.1.3.4.2

Susun kembali $x$ dan $- 1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x - 5 \cdot 3 - 5 (- x)}$

Langkah 1.1.3.5

Buang faktor negatif.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - (x \cdot x) - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Langkah 1.1.3.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - (x^{1} x) - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Langkah 1.1.3.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - (x^{1} x^{1}) - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Langkah 1.1.3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{1 + 1} - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Langkah 1.1.3.9

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.9.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{2} - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Langkah 1.1.3.9.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.9.2.1

Kalikan $- 5$ dengan $3$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{2} - 15 - 5 \cdot - 1 x}$

Langkah 1.1.3.9.2.2

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{2} - 15 + 5 x}$

Langkah 1.1.3.9.2.3

Susun kembali $3 x$ dan $- x^{2}$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 3 x - 15 + 5 x}$

Langkah 1.1.3.9.2.4

Susun kembali $- 15$ dan $5 x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 3 x + 5 x - 15}$

Langkah 1.1.3.9.2.5

Pindahkan $3 x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 5 x + 3 x - 15}$

Langkah 1.1.3.9.3

Tambahkan $5 x$ dan $3 x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 8 x - 15}$

Langkah 1.1.3.10

Limit tak hingga dari Polinomial yang koefisien pertamanya negatif adalah tak hingga negatif.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 1.1.3.11

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 1.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{\infty}{- \infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x - 5) (3 - x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (3 - x)]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (3 - x)]}$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (3 - x)]}$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x - 5$ dan $g (x) = 3 - x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) \frac{d}{d x} [3 - x] + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Langkah 1.3.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Langkah 1.3.5

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Langkah 1.3.6

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) \frac{d}{d x} [- x] + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Langkah 1.3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (- \frac{d}{d x} [x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Langkah 1.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (- 1 \cdot 1) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Langkah 1.3.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) \cdot - 1 + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Langkah 1.3.10

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x - 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- 1 \cdot (x - 5) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Langkah 1.3.11

Tulis kembali $- 1 (x - 5)$ sebagai $- (x - 5)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Langkah 1.3.12

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Langkah 1.3.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Langkah 1.3.14

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) (1 + 0)}$

Langkah 1.3.15

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) \cdot 1}$

Langkah 1.3.16

Kalikan $3 - x$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + 3 - x}$

Langkah 1.3.17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.17.1

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- x - - 5 + 3 - x}$

Langkah 1.3.17.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.17.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- x + 5 + 3 - x}$

Langkah 1.3.17.2.2

Tambahkan $5$ dan $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- x + 8 - x}$

Langkah 1.3.17.2.3

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- 2 x + 8}$

Langkah 1.4

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $- 2 x + 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{- 2 x + 8}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{2 (- x) + 8}$

Langkah 1.4.2.2

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{2 (- x) + 2 (4)}$

Langkah 1.4.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (- x) + 2 (4)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{2 (- x + 4)}$

Langkah 1.4.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 (- x + 4)}$

Langkah 1.4.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{- x + 4}$

Langkah 2

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Langkah 3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Langkah 3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Langkah 3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 1 \cdot 1 + \frac{4}{x}}$

Langkah 3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 1 + \frac{4}{x}}$

Langkah 3.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} - 1 + \frac{4}{x}}$

Langkah 3.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} - 1 + \frac{4}{x}}$

Langkah 3.5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Langkah 3.6

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Langkah 3.7

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{- 1 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 4

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{- 1 + 4 \cdot 0}$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$\frac{1}{- 1 + 0}$

Langkah 5.1.2

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Langkah 5.2

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$- 1$