Kalkulus Contoh

$\int x^{2} e^{4 x} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = e^{4 x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $e^{4 x}$ .

$x^{2} \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{4} \cdot 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4} \cdot 2$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 2 \int e^{4 x} (x) d x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $2$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2}{4} \int e^{4 x} (x) d x)$

Langkah 4.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 (1)}{4} \int e^{4 x} (x) d x)$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{4 x} (x) d x)$

Langkah 4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{4 x} (x) d x)$

Langkah 4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{2} \int e^{4 x} (x) d x)$

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} \int e^{4 x} (x) d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{4 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $e^{4 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Langkah 6.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Langkah 6.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $e^{4 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Langkah 8

Biarkan $u = 4 x$ . Kemudian $d u = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = 4 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 8.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Langkah 9

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Langkah 11.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Langkah 12

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Tulis kembali $\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ sebagai $\frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Langkah 13.2.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{4}$ dan $e^{4 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Langkah 13.2.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Langkah 13.2.4

Gabungkan $\frac{x}{4}$ dan $e^{4 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Langkah 13.2.5

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{16}$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C$

Langkah 13.2.6

Untuk menuliskan $- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot \frac{4}{4} + C$

Langkah 13.2.7

Gabungkan $- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot 4}{4} + C$

Langkah 13.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot 4}{4} + C$

Langkah 13.2.9

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x} - 4 (\frac{1}{2}) (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C$

Langkah 13.2.10

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{- 4}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C$

Langkah 13.2.11

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.11.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C$

Langkah 13.2.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.11.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C$

Langkah 13.2.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C$

Langkah 13.2.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C$

Langkah 13.2.11.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} e^{4 x} - 2 \frac{x e^{4 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C$

Langkah 15.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{4 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C$

Langkah 15.2.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C$

Langkah 15.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} e^{4 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C$

Langkah 15.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C$

Langkah 15.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{4 x}}{16}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - 2 \frac{- e^{4 x}}{16}}{4} + C$

Langkah 15.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- 1) \frac{- e^{4 x}}{16}}{4} + C$

Langkah 15.3.3

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8}}{4} + C$

Langkah 15.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8}}{4} + C$

Langkah 15.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{- e^{4 x}}{8}}{4} + C$

Langkah 15.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - - \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C$

Langkah 15.4.2

Kalikan $- - \frac{e^{4 x}}{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 1 \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C$

Langkah 15.4.2.2

Kalikan $\frac{e^{4 x}}{8}$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C$

Langkah 16

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{4} (x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} x e^{4 x} + \frac{1}{8} e^{4 x}) + C$

Langkah 17

Tulis kembali $\frac{1}{4} (x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} x e^{4 x} + \frac{1}{8} e^{4 x}) + C$ sebagai $\frac{1}{4} (x^{2} e^{4 x} - \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{e^{4 x}}{8}) + C$ .

$\frac{1}{4} (x^{2} e^{4 x} - \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{e^{4 x}}{8}) + C$

Langkah 18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Untuk menuliskan $x^{2} e^{4 x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{e^{4 x} x}{2} + x^{2} e^{4 x} \cdot \frac{8}{8} + \frac{e^{4 x}}{8}) + C$

Langkah 18.2

Gabungkan $x^{2} e^{4 x}$ dan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{x^{2} e^{4 x} \cdot 8}{8} + \frac{e^{4 x}}{8}) + C$

Langkah 18.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} (- \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{x^{2} e^{4 x} \cdot 8 + e^{4 x}}{8}) + C$

Langkah 18.4

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $x^{2} e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{8 \cdot (x^{2} e^{4 x}) + e^{4 x}}{8}) + C$

Langkah 18.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{4} (- \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{8 e^{4 x} x^{2} + e^{4 x}}{8}) + C$

Langkah 18.6

Untuk menuliskan $- \frac{e^{4 x} x}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{e^{4 x} x}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{8 e^{4 x} x^{2} + e^{4 x}}{8}) + C$

Langkah 18.7

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $8$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.7.1

Kalikan $\frac{e^{4 x} x}{2}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{e^{4 x} x \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{8 e^{4 x} x^{2} + e^{4 x}}{8}) + C$

Langkah 18.7.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{e^{4 x} x \cdot 4}{8} + \frac{8 e^{4 x} x^{2} + e^{4 x}}{8}) + C$

Langkah 18.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- e^{4 x} x \cdot 4 + 8 e^{4 x} x^{2} + e^{4 x}}{8} + C$

Langkah 18.9

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 4 e^{4 x} x + 8 e^{4 x} x^{2} + e^{4 x}}{8} + C$

Langkah 18.10

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{- 4 e^{4 x} x + 8 e^{4 x} x^{2} + e^{4 x}}{8}$ .

$\frac{- 4 e^{4 x} x + 8 e^{4 x} x^{2} + e^{4 x}}{4 \cdot 8} + C$

Langkah 18.11

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$\frac{- 4 e^{4 x} x + 8 e^{4 x} x^{2} + e^{4 x}}{32} + C$

Langkah 19

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{32} (- 4 e^{4 x} x + 8 e^{4 x} x^{2} + e^{4 x}) + C$