Kalkulus Contoh

$y = \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ dan $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)] - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (x) - \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 5

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - - \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + 1 \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 6.2

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 6.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (x) + \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 7

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 8

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Perluas $(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.2.1.1

Kalikan $\sin (x) \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.2.1.1.1

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.2.1.1.2

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.2.1.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.2.1.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.2.1.2

Kalikan $\cos (x) \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.2.1.2.1

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.2.1.2.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.2.1.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.2.1.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.2.2

Susun kembali faktor-faktor dari $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.2.3

Tambahkan $\cos (x) \sin (x)$ dan $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.3

Terapkan identitas pythagoras.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.4.1

Susun kembali $2 \cos (x)$ dan $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x)) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.4.2

Susun kembali $\sin (x)$ dan $2$ .

$\frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.4.3

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$\frac{\sin (2 x) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.5

Kalikan $- - \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 + (- \sin (x) + 1 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.5.2

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 + (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.6

Perluas $(- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.6.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.7

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.7.1.1

Kalikan $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.7.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.7.1.1.2

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.7.1.1.3

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.7.1.1.4

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.7.1.1.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.7.1.1.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.7.1.2

Kalikan $\cos (x) \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.7.1.2.1

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.7.1.2.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.7.1.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.7.1.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.7.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.7.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.7.3

Kurangi $\cos (x) \sin (x)$ dengan $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.8

Terapkan identitas pythagoras.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - 2 \cos (x) \sin (x) + 1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 2 \cos (x) \sin (x) + 2}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) + 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.5

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (- 2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) - 2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.7

Faktorkan $- 1$ dari $\sin (2 x)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) - 2) - 1 (- \sin (2 x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 \cos (x) \sin (x) - 2) - 1 (- \sin (2 x))$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.9

Tulis kembali $- (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))$ sebagai $- 1 (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))$ .

$\frac{- 1 (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$