Kalkulus Contoh

$y = \frac{x}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gabungkan $\frac{x}{3}$ dan ${(2 x + 1)}^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x {(2 x + 1)}^{3}}{3}]$

Langkah 1.2

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x {(2 x + 1)}^{3}}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{3}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(2 x + 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{3} (x \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}] + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = 2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x + 1$ .

$\frac{1}{3} (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 1$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.6.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3} \cdot 1)$

Langkah 4.8

Kalikan ${(2 x + 1)}^{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3})$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2})) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Langkah 5.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x}{3} (6 {(2 x + 1)}^{2}) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Langkah 5.3

Gabungkan $6$ dan $\frac{x}{3}$ .

$\frac{6 x}{3} {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Langkah 5.4

Gabungkan $\frac{6 x}{3}$ dan ${(2 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{6 x {(2 x + 1)}^{2}}{3} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Langkah 5.5

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Faktorkan $3$ dari $6 x {(2 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Langkah 5.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3 (1)} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Langkah 5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Langkah 5.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 x {(2 x + 1)}^{2}}{1} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Langkah 5.5.2.4

Bagilah $2 x {(2 x + 1)}^{2}$ dengan $1$ .

$2 x {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Langkah 5.6

Faktorkan ${(2 x + 1)}^{2}$ dari $2 x {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Faktorkan ${(2 x + 1)}^{2}$ dari $2 x {(2 x + 1)}^{2}$ .

${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Langkah 5.6.2

Faktorkan ${(2 x + 1)}^{2}$ dari $\frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$ .

${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + {(2 x + 1)}^{2} (\frac{1}{3} (2 x + 1))$

Langkah 5.6.3

Faktorkan ${(2 x + 1)}^{2}$ dari ${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + {(2 x + 1)}^{2} (\frac{1}{3} (2 x + 1))$ .

${(2 x + 1)}^{2} (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Langkah 5.7

Tulis kembali ${(2 x + 1)}^{2}$ sebagai $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$(2 x + 1) (2 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Langkah 5.8

Perluas $(2 x + 1) (2 x + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Terapkan sifat distributif.

$(2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Langkah 5.8.2

Terapkan sifat distributif.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Langkah 5.8.3

Terapkan sifat distributif.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Langkah 5.9

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Langkah 5.9.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Langkah 5.9.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Langkah 5.9.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$(4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Langkah 5.9.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Langkah 5.9.1.5

Kalikan $2 x$ dengan $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Langkah 5.9.1.6

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Langkah 5.9.2

Tambahkan $2 x$ dan $2 x$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Langkah 5.10

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.1

Terapkan sifat distributif.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x) + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Langkah 5.10.2

Kalikan $\frac{1}{3} (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{3}$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Langkah 5.10.2.2

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Langkah 5.10.3

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Langkah 5.11

Untuk menuliskan $2 x$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Langkah 5.12

Gabungkan $2 x$ dan $\frac{3}{3}$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (\frac{2 x \cdot 3}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Langkah 5.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (\frac{2 x \cdot 3 + 2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Langkah 5.14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{2 x \cdot 3 + 2 x + 1}{3}$

Langkah 5.15

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{6 x + 2 x + 1}{3}$

Langkah 5.16

Tambahkan $6 x$ dan $2 x$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{8 x + 1}{3}$

Langkah 5.17

Terapkan sifat distributif.

$4 x^{2} \frac{8 x + 1}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Langkah 5.18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.18.1

Kalikan $4 x^{2} \frac{8 x + 1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.18.1.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{8 x + 1}{3}$ .

$x^{2} \frac{4 (8 x + 1)}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Langkah 5.18.1.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{4 (8 x + 1)}{3}$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Langkah 5.18.2

Kalikan $4 x \frac{8 x + 1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.18.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{8 x + 1}{3}$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + x \frac{4 (8 x + 1)}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Langkah 5.18.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{4 (8 x + 1)}{3}$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{x (4 (8 x + 1))}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Langkah 5.18.3

Kalikan $\frac{8 x + 1}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{x (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{8 x + 1}{3}$

Langkah 5.19

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1)) + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Langkah 5.20

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.20.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{4 x^{2} (8 x + 1) + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Langkah 5.20.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot 1 + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Langkah 5.20.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1 + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Langkah 5.20.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Langkah 5.20.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.20.5.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.20.5.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Langkah 5.20.5.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.20.5.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Langkah 5.20.5.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Langkah 5.20.5.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Langkah 5.20.5.2

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Langkah 5.20.6

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x (8 x + 1) + 8 x + 1}{3}$

Langkah 5.20.7

Terapkan sifat distributif.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 8 x + 1}{3}$

Langkah 5.20.8

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 8 x + 1}{3}$

Langkah 5.20.9

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x \cdot x + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Langkah 5.20.10

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.20.10.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.20.10.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 (x \cdot x) + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Langkah 5.20.10.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Langkah 5.20.10.2

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 32 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Langkah 5.21

Tambahkan $4 x^{2}$ dan $32 x^{2}$ .

$\frac{32 x^{3} + 36 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Langkah 5.22

Tambahkan $4 x$ dan $8 x$ .

$\frac{32 x^{3} + 36 x^{2} + 12 x + 1}{3}$