Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 9}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = 3 \sec (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec (t) \tan (t)$ positif.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $9$ dari $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $9$ dari $- 9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $9$ dari $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \tan^{2} (t)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $9 \tan^{2} (t)$ sebagai ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 \tan (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $3 \tan (t)$ dari ${(3 \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t) ({(3 \sec (t))}^{2})} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $3 \tan (t)$ dari $3 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t) ({(3 \sec (t))}^{2})} (3 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Langkah 2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{3 \tan (t) {(3 \sec (t))}^{2}} (3 \tan (t) \sec (t)) d t$

Langkah 2.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Langkah 2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2}}$ dan $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(3 \sec (t))}^{2}} d t$

Langkah 3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{3^{2} \sec^{2} (t)} d t$

Langkah 3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{9 \sec^{2} (t)} d t$

Langkah 4

Hapus faktor persekutuan dari $\sec (t)$ dan $\sec^{2} (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan dengan $1$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{9 \sec^{2} (t)} d t$

Langkah 4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan $\sec (t)$ dari $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (9 \sec (t))} d t$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (9 \sec (t))} d t$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{9 \sec (t)} d t$

Langkah 5

Pisahkan pecahan.

$\int \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sec (t)} d t$

Langkah 6

Tulis kembali $\sec (t)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Langkah 7

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{9} (1 \cos (t)) d t$

Langkah 8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $\cos (t)$ dengan $1$ .

$\int \frac{1}{9} \cos (t) d t$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{9}$ dan $\cos (t)$ .

$\int \frac{\cos (t)}{9} d t$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{9}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{9}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{9} \int \cos (t) d t$

Langkah 10

Integral dari $\cos (t)$ terhadap $t$ adalah $\sin (t)$ .

$\frac{1}{9} (\sin (t) + C)$

Langkah 11

Sederhanakan.

$\frac{1}{9} \sin (t) + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{9} \sin (arcsec (\frac{x}{3})) + C$

Langkah 13

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{9} \sin (arcsec (\frac{1}{3} x)) + C$