Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{\frac{2 x}{x + 1}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{\frac{2 x}{x + 1}}$ sebagai ${(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = \frac{2 x}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{2 x}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{2 x}{x + 1}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Langkah 3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Langkah 4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Langkah 5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Langkah 6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Langkah 6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Langkah 7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Langkah 7.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 x}{x + 1}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}])$

Langkah 7.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Langkah 7.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Langkah 7.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 {(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Langkah 7.3.3

Kalikan ${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Langkah 8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x + 1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 9

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 9.2

Kalikan $x + 1$ dengan $1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 9.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 9.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 9.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 9.6

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.6.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 9.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 9.6.3

Kurangi $x$ dengan $x$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 9.6.4

Tambahkan $0$ dan $1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Mengubah tanda eksponen dengan menulis kembali bilangan pokok sebagai kebalikannya.

${(\frac{x + 1}{2 x})}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 10.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x + 1}{2 x}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 10.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 x$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 10.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Kalikan $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 10.4.2

Pindahkan ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Langkah 10.4.3

Kalikan ${(x + 1)}^{2}$ dengan ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.3.1

Pindahkan ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2})}$

Langkah 10.4.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Langkah 10.4.3.3

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Langkah 10.4.3.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Langkah 10.4.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Langkah 10.4.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.3.6.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Langkah 10.4.3.6.2

Tambahkan $- 1$ dan $4$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$