Kalkulus Contoh

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

Langkah 1

Sederhanakan penjumlahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $i$ dari $i - i^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{i^{1} - i^{2}}{3}$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $i$ dari $i^{1}$ .

$\frac{i \cdot 1 - i^{2}}{3}$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $i$ dari $- i^{2}$ .

$\frac{i \cdot 1 + i (- i)}{3}$

Langkah 1.1.4

Faktorkan $i$ dari $i \cdot 1 + i (- i)$ .

$\frac{i (1 - i)}{3}$

Langkah 1.2

Tulis kembali penjumlahannya.

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i (1 - i)}{3}$

Langkah 2

Pisahkan penjumlahan untuk membuat nilai awal dari $i$ sama dengan $1$ .

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} - \sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$

Langkah 3

Evaluasi $\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan penjumlahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

Langkah 3.1.2

Tulis kembali penjumlahannya.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

Langkah 3.2

Pisahkan penjumlahannya menjadi penjumlahan yang lebih kecil yang sesuai dengan kaidah penjumlahan.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} + \sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$

Langkah 3.3

Evaluasi $\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $\frac{1}{3}$ dari penjumlahannya.

$\frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i$

Langkah 3.3.2

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $1$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Langkah 3.3.3

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(\frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Langkah 3.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1.1

Tambahkan $10$ dan $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}$

Langkah 3.3.4.1.2

Kalikan $10$ dengan $11$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{110}{2}$

Langkah 3.3.4.1.3

Bagilah $110$ dengan $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot 55$

Langkah 3.3.4.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $55$ .

$\frac{55}{3}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $- \frac{1}{3}$ dari penjumlahannya.

$- \frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i^{2}$

Langkah 3.4.2

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $2$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Langkah 3.4.3

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(- \frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6})$

Langkah 3.4.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1.1

Tambahkan $10$ dan $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Langkah 3.4.4.1.2

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1.2.1

Kalikan $10$ dengan $11$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Langkah 3.4.4.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $10$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (20 + 1)}{6}$

Langkah 3.4.4.1.3

Tambahkan $20$ dan $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 \cdot 21}{6}$

Langkah 3.4.4.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1

Kalikan $110$ dengan $21$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

Langkah 3.4.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

Langkah 3.4.4.2.2.2

Faktorkan $3$ dari $2310$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (770)}{6}$

Langkah 3.4.4.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 770}{6}$

Langkah 3.4.4.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 (\frac{770}{6})$

Langkah 3.4.4.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $770$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $770$ .

$- 1 \frac{2 (385)}{6}$

Langkah 3.4.4.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.4.4.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.4.4.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 (\frac{385}{3})$

Langkah 3.4.4.2.4

Tulis kembali $- 1 (\frac{385}{3})$ sebagai $- (\frac{385}{3})$ .

$- \frac{385}{3}$

Langkah 3.5

Jumlahkan hasil penjumlahan.

$\frac{55}{3} - \frac{385}{3}$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{55 - 385}{3}$

Langkah 3.6.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Kurangi $385$ dengan $55$ .

$\frac{- 330}{3}$

Langkah 3.6.2.2

Bagilah $- 330$ dengan $3$ .

$- 110$

Langkah 4

Evaluasi $\sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan penjumlahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

Langkah 4.1.2

Tulis kembali penjumlahannya.

$\sum_{i = 1}^{3} \frac{i - i^{2}}{3}$

Langkah 4.2

Perluas barisan untuk setiap nilai dari $i$ .

$\frac{1 - 1^{2}}{3} + \frac{2 - 2^{2}}{3} + \frac{3 - 3^{2}}{3}$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 - 1^{2} + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Langkah 4.3.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 1 \cdot 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

Langkah 4.3.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

Langkah 4.3.2.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 1 \cdot 9}{3}$

Langkah 4.3.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Langkah 4.3.3

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Langkah 4.3.4

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$\frac{2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Langkah 4.3.5

Kurangi $4$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 + 3 - 9}{3}$

Langkah 4.3.6

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$\frac{1 - 9}{3}$

Langkah 4.3.7

Kurangi $9$ dengan $1$ .

$\frac{- 8}{3}$

Langkah 4.3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{8}{3}$

Langkah 5

Substitusikan penjumlahannya dengan nilai yang ditemukan.

$- 110 + \frac{8}{3}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Untuk menuliskan $- 110$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- 110 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}$

Langkah 6.2

Gabungkan $- 110$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 110 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}$

Langkah 6.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 110 \cdot 3 + 8}{3}$

Langkah 6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan $- 110$ dengan $3$ .

$\frac{- 330 + 8}{3}$

Langkah 6.4.2

Tambahkan $- 330$ dan $8$ .

$\frac{- 322}{3}$

Langkah 6.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{322}{3}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{322}{3}$

Bentuk Desimal:

$- 107.\overline{3}$

Bentuk Bilangan Campuran:

$- 107 \frac{1}{3}$