Kalkulus Contoh

$x^{3} y^{4} - 6 e^{2 x - y} = 3$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y^{4} - 6 e^{2 x - y}) = \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} y^{4} - 6 e^{2 x - y}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{2 x - y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{2 x - y}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y^{4}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{2 x - y}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{2 x - y}]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$x^{3} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{2 x - y}]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$x^{3} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{2 x - y}]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x^{3} (4 y^{3} y') + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{2 x - y}]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x^{3} (4 y^{3} y') + y^{4} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{2 x - y}]$

Langkah 2.2.5

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$4 \cdot x^{3} y^{3} y' + y^{4} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{2 x - y}]$

Langkah 2.2.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y^{4}$ .

$4 x^{3} y^{3} y' + 3 y^{4} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 e^{2 x - y}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 e^{2 x - y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 e^{2 x - y}$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [e^{2 x - y}]$ .

$4 x^{3} y^{3} y' + 3 y^{4} x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [e^{2 x - y}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x - y$ .

$4 x^{3} y^{3} y' + 3 y^{4} x^{2} - 6 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - y])$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$4 x^{3} y^{3} y' + 3 y^{4} x^{2} - 6 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x - y])$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x - y$ .

$4 x^{3} y^{3} y' + 3 y^{4} x^{2} - 6 (e^{2 x - y} \frac{d}{d x} [2 x - y])$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$4 x^{3} y^{3} y' + 3 y^{4} x^{2} - 6 (e^{2 x - y} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y]))$

Langkah 2.3.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} y^{3} y' + 3 y^{4} x^{2} - 6 (e^{2 x - y} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]))$

Langkah 2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 x^{3} y^{3} y' + 3 y^{4} x^{2} - 6 (e^{2 x - y} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]))$

Langkah 2.3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 x^{3} y^{3} y' + 3 y^{4} x^{2} - 6 (e^{2 x - y} (2 \cdot 1 - \frac{d}{d x} [y]))$

Langkah 2.3.7

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 x^{3} y^{3} y' + 3 y^{4} x^{2} - 6 (e^{2 x - y} (2 \cdot 1 - y'))$

Langkah 2.3.8

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$4 x^{3} y^{3} y' + 3 y^{4} x^{2} - 6 e^{2 x - y} (2 - y')$

Langkah 3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$4 x^{3} y^{3} y' + 3 y^{4} x^{2} - 6 e^{2 x - y} (2 - y') = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $4 x^{3} y^{3} y' + 3 y^{4} x^{2} - 6 e^{2 x - y} (2 - y')$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$4 x^{3} y^{3} y' + 3 y^{4} x^{2} - 6 e^{2 x - y} \cdot 2 - 6 e^{2 x - y} (- y') = 0$

Langkah 5.1.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 6$ .

$4 x^{3} y^{3} y' + 3 y^{4} x^{2} - 12 e^{2 x - y} - 6 e^{2 x - y} (- y') = 0$

Langkah 5.1.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$4 x^{3} y^{3} y' + 3 y^{4} x^{2} - 12 e^{2 x - y} - 6 \cdot - 1 e^{2 x - y} y' = 0$

Langkah 5.1.1.4

Kalikan $- 6$ dengan $- 1$ .

$4 x^{3} y^{3} y' + 3 y^{4} x^{2} - 12 e^{2 x - y} + 6 e^{2 x - y} y' = 0$

Langkah 5.1.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $4 x^{3} y^{3} y' + 3 y^{4} x^{2} - 12 e^{2 x - y} + 6 e^{2 x - y} y'$ .

$4 x^{3} y^{3} y' + 3 y^{4} x^{2} - 12 e^{2 x - y} + 6 y' e^{2 x - y} = 0$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $3 y^{4} x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x^{3} y^{3} y' - 12 e^{2 x - y} + 6 y' e^{2 x - y} = - 3 y^{4} x^{2}$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $12 e^{2 x - y}$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x^{3} y^{3} y' + 6 y' e^{2 x - y} = - 3 y^{4} x^{2} + 12 e^{2 x - y}$

Langkah 5.3

Faktorkan $2 y'$ dari $4 x^{3} y^{3} y' + 6 y' e^{2 x - y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $2 y'$ dari $4 x^{3} y^{3} y'$ .

$2 y' (2 x^{3} y^{3}) + 6 y' e^{2 x - y} = - 3 y^{4} x^{2} + 12 e^{2 x - y}$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $2 y'$ dari $6 y' e^{2 x - y}$ .

$2 y' (2 x^{3} y^{3}) + 2 y' (3 e^{2 x - y}) = - 3 y^{4} x^{2} + 12 e^{2 x - y}$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' (2 x^{3} y^{3}) + 2 y' (3 e^{2 x - y})$ .

$2 y' (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y}) = - 3 y^{4} x^{2} + 12 e^{2 x - y}$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $2 y' (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y}) = - 3 y^{4} x^{2} + 12 e^{2 x - y}$ dengan $2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $2 y' (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y}) = - 3 y^{4} x^{2} + 12 e^{2 x - y}$ dengan $2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})$ .

$\frac{2 y' (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})} = \frac{- 3 y^{4} x^{2}}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})} + \frac{12 e^{2 x - y}}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y' (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})} = \frac{- 3 y^{4} x^{2}}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})} + \frac{12 e^{2 x - y}}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})}$

Langkah 5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})}{2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y}} = \frac{- 3 y^{4} x^{2}}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})} + \frac{12 e^{2 x - y}}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})}$

Langkah 5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})}{2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y}} = \frac{- 3 y^{4} x^{2}}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})} + \frac{12 e^{2 x - y}}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})}$

Langkah 5.4.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 3 y^{4} x^{2}}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})} + \frac{12 e^{2 x - y}}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 3 y^{4} x^{2} + 12 e^{2 x - y}}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})}$

Langkah 5.4.3.2

Faktorkan $3$ dari $- 3 y^{4} x^{2} + 12 e^{2 x - y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 y^{4} x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- y^{4} x^{2}) + 12 e^{2 x - y}}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})}$

Langkah 5.4.3.2.2

Faktorkan $3$ dari $12 e^{2 x - y}$ .

$y' = \frac{3 (- y^{4} x^{2}) + 3 (4 e^{2 x - y})}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})}$

Langkah 5.4.3.2.3

Faktorkan $3$ dari $3 (- y^{4} x^{2}) + 3 (4 e^{2 x - y})$ .

$y' = \frac{3 (- y^{4} x^{2} + 4 e^{2 x - y})}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})}$

Langkah 5.4.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- y^{4} x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- (y^{4} x^{2}) + 4 e^{2 x - y})}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})}$

Langkah 5.4.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $4 e^{2 x - y}$ .

$y' = \frac{3 (- (y^{4} x^{2}) - (- 4 e^{2 x - y}))}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})}$

Langkah 5.4.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (y^{4} x^{2}) - (- 4 e^{2 x - y})$ .

$y' = \frac{3 (- (y^{4} x^{2} - 4 e^{2 x - y}))}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})}$

Langkah 5.4.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.6.1

Tulis kembali $- (y^{4} x^{2} - 4 e^{2 x - y})$ sebagai $- 1 (y^{4} x^{2} - 4 e^{2 x - y})$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (y^{4} x^{2} - 4 e^{2 x - y}))}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})}$

Langkah 5.4.3.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{3 (y^{4} x^{2} - 4 e^{2 x - y})}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 (y^{4} x^{2} - 4 e^{2 x - y})}{2 (2 x^{3} y^{3} + 3 e^{2 x - y})}$