Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x} - x$

Langkah 1

Kalikan untuk merasionalkan pembilangnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x} - x) (\sqrt{x} + x)}{\sqrt{x} + x}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Perluas pembilangnya menggunakan metode FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} x + \sqrt{x} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Langkah 2.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Langkah 2.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Langkah 2.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{1} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - x^{2}}{\sqrt{x} + x}$

Langkah 3

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{x^{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Langkah 4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{x^{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Langkah 4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x^{2}}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Langkah 4.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Langkah 4.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Langkah 4.1.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Langkah 4.1.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Langkah 4.1.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x}{1}}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Langkah 4.1.2.2.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Langkah 4.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}} + 1}$

Langkah 4.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}} + 1}$

Langkah 4.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}} + 1}$

Langkah 4.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + 1}$

Langkah 4.2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + 1}$

Langkah 4.2.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{\frac{1}{x}} + 1}$

Langkah 5

Ketika $x$ mendekati $\infty$ , pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{\sqrt{0} + 1}$

Langkah 6

Karena pembilangnya tidak terhingga sedangkan penyebutnya mendekati bilangan konstan, pecahan $\frac{1 - x}{\sqrt{0} + 1}$ mendekati tak hingga negatif.

$- \infty$