Kalkulus Contoh

$\int \sqrt{t} (t^{2} + 3 t + 2) d t$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = t^{2} + 3 t + 2$ dan $d v = \sqrt{t}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (2 t + 3) d t$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (2 t + 3) d t$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (2 t + 3) d t$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (2 t) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 3 d t$

Langkah 3.2

Susun kembali $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ dan $2$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 3 d t$

Langkah 3.3

Susun kembali $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ dan $3$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + 3 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Langkah 3.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} t + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Langkah 3.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Langkah 3.6

Gabungkan $\frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ dan $t$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2}} t}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Langkah 3.7

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 (t^{\frac{3}{2}} t^{1})}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Langkah 3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2} + 1}}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Langkah 3.9

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Langkah 3.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3 + 2}{2}}}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Langkah 3.11

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Langkah 3.12

Gabungkan $3$ dan $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} d t$

Langkah 3.13

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{6 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $3$ dari $6 t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} d t$

Langkah 4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} d t$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} d t$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{1} d t$

Langkah 4.2.4

Bagilah $2 t^{\frac{3}{2}}$ dengan $1$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{3}{2}} d t$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} d t + \int 2 t^{\frac{3}{2}} d t)$

Langkah 6

Karena $\frac{4}{3}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{4}{3}$ keluar dari integral.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \int t^{\frac{5}{2}} d t + \int 2 t^{\frac{3}{2}} d t)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t^{\frac{5}{2}}$ terhadap $t$ adalah $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C) + \int 2 t^{\frac{3}{2}} d t)$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{2}{7}$ dan $t^{\frac{7}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int 2 t^{\frac{3}{2}} d t)$

Langkah 9

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + 2 \int t^{\frac{3}{2}} d t)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t^{\frac{3}{2}}$ terhadap $t$ adalah $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + 2 (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + 2 (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Langkah 11.2

Sederhanakan.

$\frac{t^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 11.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $t^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 11.3.2

Kalikan $\frac{4}{3}$ dengan $\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4 (2 t^{\frac{7}{2}})}{3 \cdot 7} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 11.3.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{3 \cdot 7} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 11.3.4

Kalikan $3$ dengan $7$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 11.3.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}})}{5}) + C$

Langkah 11.3.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 11.3.7

Untuk menuliskan $- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Langkah 11.3.8

Gabungkan $- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5})$ dan $\frac{3}{3}$ .

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

Langkah 11.3.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{7}{2}} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

Langkah 11.3.10

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{7}{2}} - 3 (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Langkah 11.4

Susun kembali suku-suku.

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} (2 t^{\frac{7}{2}} - 3 (\frac{8}{21} t^{\frac{7}{2}} + \frac{4}{5} t^{\frac{5}{2}})) + C$